2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破18 正方形与全等模型（2）：垂直模型

试卷更新日期：2024-06-01 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，正方形ABCD的边长为 10，AG=CH=8，BG=DH=6，连结GH，则GH 的长为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{8}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $10 - 5 \sqrt{2}$

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2. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M是边AD上一点，连结OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、2 $\sqrt{2}$

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3. 如图，在边长为3的正方形ABCD中， $∠ C D E = 3 0^{°} ， D E ⊥ C F$ ，则BF的长是（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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4. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF的长为（）

A、6.5dm B、6dm C、5.5dm D、4dm

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6. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点P在边 $A B$ 上， $A E ⊥ D P$ 于点E， $C F ⊥ D P$ 于点F，若 $A E = 4$ ， $C F = 7$ ，则 $E F =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF $∥$ DE且交AG于点F，若AB = 4EF，则 $S_{阴影} ：$ S_正方形ABCD的值为（）

A、9：16 B、17：32 C、17：36 D、18：35

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以 $△ A B C$ 的各边为边作三个正方形，点 $G$ 落在 $H I$ 上，若 $A C + B C = 7$ ，空白部分面积为 $10$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $\sqrt{23}$ B、 $\sqrt{21}$ C、 $\sqrt{19}$ D、 $\sqrt{26}$

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9. 如图，边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，点G在 $B C$ 边上，将正方形 $A B C D$ 沿直线 $D G$ 折叠，点C落在对角线 $B D$ 上的点E处，折痕 $D G$ 交 $A C$ 于点M，则 $O M$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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10. 如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且 $O E ⊥ O F$ ，连接EF ．若∠AOE＝150°， $D F = \sqrt{3}$ ，则EF的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、3

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二、填空题

11. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC，BD于点E，点M，过点B作BF⊥AE于点P，交AC于点G，交CD于点F，则OM与OG存在数量关系；当OM＝1时，则BM＝．

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12. 如图，小明同学将边长为5cm的正方形塑料模板ABCD与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点A处，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，则四边形AECF的面积是．

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13. 如图，直线l正方形ABCD的顶点B，点A、点C到直线l的距离分别是3和4，则该正方形的面积是.

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14. 如图，边长为2的正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点O，点E是 $B C$ 边上的动点，连接 $O E$ 并延长交 $A B$ 的延长线于点P，过点O作 $O Q ⊥ O P$ 交 $C D$ 于点F，交 $B C$ 延长线于点Q，连接 $P Q$ ．若点 $E$ 恰好是 $O P$ 中点时，则 $P Q =$ ．

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15. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，已知正方形边长为4，则EF的长为 .

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16. 正方形ABCD的边长为2，如图1，点E，F均在正方形内部，且BE=EF=FD，∠E=∠F=90°，则BE的长为；如图2，点G，H，I，J，K，L均在正方形内部，且BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD，∠G=∠H=∠I=∠J=∠K=∠L=90°，则BG的长为.

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三、解答题

17.

(1)、如图①，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；

(2)、如图②，在(1)的条件下，连结AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于点M ，观察并猜想CE与MF的数量关系，并说明理由．

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18.
如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．

(1)、如图②，取AB的中点H，连结HE，求证：AE=EF．

(2)、如图③，若点E是BC的延长线上(除点C外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF"仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．

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19. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形ABCD的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，求EF的长．

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20. 如图，四边形ABCD是正方形，C是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．求证：DE-BF=EF．

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21. 如图①，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上(不与点A，O重合)的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．

(1)、求证：PE=PB．

(2)、如图②，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由．

(3)、用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系．

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22. 如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，点D重合)，连结BE，作 AG⊥BE于点F，交边 CD于点G，连结 CF.

(1)、求证：BE=AG.

(2)、已知E 是边AD 的中点，AD=10.
①分别求AF，BF的长.
②求证：CB=CF.

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23.

(1)、如图1，四边形 $A B C D$ 是正方形，点G是边 $A B$ 的中点， $∠ D G F = 90 °$ ，且 $G F$ 交正方形外角 $∠ C B E$ 的平分线 $C F$ 于点F ，求证： $D G = G F$ .
小明展示了一种正确的解题思路：取 $A D$ 的中点M ，连接 $M G$ ，请你写出证明过程．

(2)、如图2，如果把“点G是 $A B$ 边的中点”改为“点G是 $A B$ 边上（除A、B外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“ $D G = G F$ ”仍然成立．这个结论正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

(3)、若点G在 $A B$ 边的延长线上的任意一点，其他条件不变，结论“ $D G = G F$ .”仍然成立，你认为（1）的结论还正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.

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四、综合题

24. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E是边 $A D$ 上的一点，F是边 $A B$ 延长线上的一点，且 $E C ⊥ F C$ ．

(1)、求证： $E C = F C$ ；

(2)、求 $∠ C F E$ 的度数．

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25. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点E在 $A B$ 上，点F在 $B C$ 的延长线上， $D E ⊥ D F$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ C D F$ ；

(2)、连接 $E F$ ，若 $A E = a ， A D = b ， D E = c$ ，请利用图2验证勾股定理．

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26. 四边形 $A B C D$ 为正方形，E为对角线 $A C$ 上一点，连接 $D E ， B E$ ．

(1)、如图1，求证： $B E = D E$ ；

(2)、如图2，过点E作 $E F ⊥ D E$ ，交边 $B C$ 于点F，以 $D E ， E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ．
①求证：矩形 $D E F G$ 是正方形；
②若正方形 $A B C D$ 的边长为6， $C G = 2 \sqrt{2}$ ，求正方形 $D E F G$ 的边长．

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27. 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE=CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）.将线段EP绕点E顺时针旋转90得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q.

(1)、如图①，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，则线段BP，QC，EC的数量关系为；

(2)、如图②，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)、若正方形ABCD的边长为6，AB=3DE，CQ=1，请直接写出线段BP的长.

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28. 从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很自然地联想，借助已有经验，迅速解决问题．

(1)、如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，且MN=DM．
设OM=a，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标（用含a的代数式表示）；

(2)、如果（1）的条件去掉“且MN=DM”，加上“交∠CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MD = MN．如何获得问题的解决，不妨在OD上取一点G，连接MG，设法构造△MDG与△NMB全等，请你按此思路证明：MD = MN．

(3)、如图3，（2）的条件下请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，请你指出正确的结论，并给出证明.

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五、实践探究题

29. 综合与实践

(1)、【教材情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形 $A B C D$ 中，E是BC的中点， $A E ⊥ E P$ ， EP与正方形的外角 $∠ D C G$ 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题，请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

(2)、【实践探究】
“希望小组”受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形 $A B C D$ 中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形， $∠ A E P = 90 °$ ，连接CP，可以求出 $∠ D C P$ 的大小，请你思考并解答这个问题．

(3)、【拓展迁移】
“突击小组”深入研究“希望小组”提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $A B C D$ 中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形， $∠ A E P = 90 °$ ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当 $A B = 4$ 时，△ADP周长的最小值为．（直接写出结果）

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