2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破16 含60°角的菱形

试卷更新日期：2024-06-01 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的周长为 $8$ ， $∠ A = 60 °$ ，则对角线 $B D$ 的长是（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{3}$

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2. 根据四边形的不稳定性，当变动∠B的度数时，菱形ABCD的形状会发生改变，当∠B=60°时，如图①所示，AC= $\sqrt{2}$ ；当∠B=90°时，如图②所示，AC等于( )

① ②

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　）

A、24 B、30 C、 $18 \sqrt{3}$ D、 $36 \sqrt{3}$

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4. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC'的大小为（）

A、20° B、25° C、30° D、35°

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5. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝8cm，则菱形ABCD的面积是（　　）cm²

A、16 $\sqrt{3}$ B、32 $\sqrt{3}$ C、64 $\sqrt{3}$ D、32 $\sqrt{2}$

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6. 如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上的一点，过点E作FH $//$ AD，GI $//$ AB，点F，G，H，I分别在AB，BC，CD，DA上.若AC＝a，∠B＝60°，则图中阴影部分的周长为（）

A、 $2 \sqrt{3} a$ B、4a C、 $2 \sqrt{5} a$ D、6a

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7. 如图，在边长为4的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $A D$ 、 $C D$ 边上的动点，连接 $B E$ 、 $B F$ 、 $E F$ ．若 $∠ E B F = 60 °$ ，则以下结论正确的是（）
① $B E = B F$ ；② $△ B E F$ 是等边三角形；③四边形 $E B F D$ 的面积是 $4 \sqrt{3}$ ；④ $△ D E F$ 面积有最大值为 $2 \sqrt{3}$ ．

A、①② B、①②③ C、①②④ D、①②③④

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8. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（　　）

A、 $50 \sqrt{3}$ cm² B、50cm² C、 $25 \sqrt{3}$ cm² D、25cm²

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9. 如图，AC为边长为2 $\sqrt{3}$ 的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、4+2 $\sqrt{3}$ C、1+ $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

10. 如图，菱形ABCD的周长是16，∠ABC=60°，则对角线 AC的长为.

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11. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E ， F分别是AB ， AD的中点，DE ， BF相交于点G ，连接BD ， CG ．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG＋DG＝CG；③BD＝CG；④ $S_{△ A B D} = \frac{\sqrt{3}}{4} A B^{2}$ ．其中正确的有（将正确答案的序号填在横线上）．

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12. 如图， $△ A C E$ 是以菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称，若点B的坐标是 $(1 ， 0)$ ，则点E的坐标为．

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13. 如图，在边长为5的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ，点E、点F分别在 $A D$ 、 $C D$ 上，且 $∠ E B F = 60 °$ ，连接 $E F$ ，若 $A E = 2$ ，则 $E F$ 的长度为．

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14. 三个形状、大小相同的菱形按如图的方式摆放，若 $Δ A B C$ 为正三角形，且边长为6，则一个菱形的面积为.

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15. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为6，且 $∠ B A D = 120 °$ ，点 $E, F$ 分别在 $A B, B C$ 边上，将菱形沿 $E F$ 折叠，使点B正好落在 $A D$ 边上的点G处．若 $E G ⊥ A C$ ，则 $F G$ 的长为．

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三、综合题

16. 如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，O为BD的中点，点E在AD上，点F在AB的延长线上，且∠EOF=120°．求证：AE+BF= $\frac{1}{2}$ AB．

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17. 如图1，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE ， PE交CD于F ．
图1 图2

(1)、求证：PC=PE；

(2)、求∠CPE=；

(3)、如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120^o时，连接CE ，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

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18. 已知菱形 $A B C D$ ， $∠ A B C = α$ ．

(1)、如图1， $α = 60 °$ ，点E在边 $B C$ 上，点F在边 $C D$ 上， $∠ E A F = 60 °$ ，求证： $B E = C F$ ；

(2)、如图2， $α = 90 °$ ，点F在边 $B C$ 上，点E在边 $A B$ 上， $∠ E D F = 45 °$ ，过点F作 $F N ⊥ D F$ 交 $D E$ 的延长线于点N ，连接 $A N$ ，过点N作 $N H ⊥ A N$ 交直线 $B C$ 于点H ，求证：点F为 $H C$ 的中点；

(3)、如图3， $α = 60 °$ ，点E为边 $A B$ 的中点，点F在边 $B C$ 上， $∠ E D F = 30 °$ ，直接写出 $\frac{B F}{C F}$ 的值．

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19. 如图 $1$ ，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 120 °$ ． $B (- \sqrt{3} ， 0)$ ， $C (\sqrt{3} ， 0)$ ， $D (0 ， 3)$ ．

(1)、点 $A$ 坐标为，四边形 $A B O D$ 的面积为；

(2)、如图 $2$ ，点 $E$ 在线段 $A C$ 上运动， $△ D E F$ 为等边三角形．
$①$ 求证： $A F = B E$ ，并求 $A F$ 的最小值；
$②$ 点 $E$ 在线段 $A C$ 上运动时，点 $F$ 的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点 $F$ 的横坐标 $.$ 若变化，请说明理由．

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20. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O ，过点D作 $D E ∥ A C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} A C$ ，连接 $A E ， C E$ ．

(1)、求证：四边形 $O C E D$ 为矩形；

(2)、若菱形 $A B C D$ 的边长为4， $∠ B C D = 60 °$ ，求 $A E$ 的长．

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21. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠B=60°，点E，F分别是边BC，CD上的动点(不与端点重合)，且∠EAF'= 60°．

(1)、求证：△AEF是等边三角形．

(2)、点E，F在运动过程中，四边形AECF的面积是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积．

(3)、当点E在什么位置时，△ECF的面积最大，并求出此时面积的最大值．

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22. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ 、 $B C$ 上的两个动点，且满足 $A E = B F$ ．

(1)、求 $D B$ 的长；

(2)、判断 $△ D E F$ 的形状；

(3)、设 $△ D E F$ 的周长为 $l$ ，求 $l$ 的最小值．

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23. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB=2CD，E为AB的中点，连结CE．

(1)、求证：四边形AECD为菱形；

(2)、若∠D=120°，DC=2，求△ABC的面积

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24. 如图①，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且∠EAF= 60°．

(1)、写出BE，CF，AB之间的数量关系；

(2)、如图②，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出BE，DF，AB三者之间的关系，证明你的结论；

(3)、如图③，当∠EAF绕着点A逆时针旋转到∠EAF的两边与菱形的两边BC，CD的延长线相交，但不垂直时，请直接写出BE ，DF ，AB三者之间的关系．

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25. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ， E为边 $A B$ 上一点，点F在 $D B$ 的延长线上， $E F = E D$ ，作点F关于直线 $A B$ 的对称点G ，连接 $E G$ ．

(1)、依题意补全图形，并证明 $∠ A D E = ∠ F E B$ ；

(2)、用等式表示 $A E ， C G ， D F$ 之间的数量关系，并证明．

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四、实践探究题

26. 如图①， $∠ Q P N$ 的顶点P是正方形 $A B C D$ 两条对角线的交点， $∠ Q P N = α$ ，将 $∠ Q P N$ 绕点P旋转，旋转过程中 $∠ Q P N$ 的两边分别与正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 和 $C D$ 交于点E和点F（点F与点C，D不重合）

(1)、如图①，当 $α = 90 °$ 时， $D E ， D F ， A D$ 之间满足的数量关系是；

(2)、如图②，将图①中的正方形 $A B C D$ 改为 $∠ A D C = 120 °$ 的菱形，M是 $A D$ 中点，其他条件不变，当 $α = 60 °$ 时，求证： $△ M P E ≌ △ D P F$ ．

(3)、在（2）的条件下，若旋转过程中 $∠ Q P N$ 的边 $P Q$ 与线段 $A D$ 延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中， $D E ， D F ， A D$ 之间满足的数量关系．

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27. 综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含 $60 °$ 角的菱形进行了探究．
【背景】在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ，作 $∠ P A Q = ∠ B$ ， $A P$ 、 $A Q$ 分别交边 $B C$ 、 $C D$ 于点P、Q．

(1)、【感知】
如图1，若点P是边 $B C$ 的中点，小南经过探索发现了线段 $A P$ 与 $A Q$ 之间的数量关系，请你写出这个关系式．

(2)、【探究】
如图2，小阳说“点P为 $B C$ 上任意一点时，（1）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由．

(3)、【应用】
小宛取出如图3所示的菱形纸片 $A B C D$ ，测得 $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 6$ ，在 $B C$ 边上取一点P，连接 $A P$ ，在菱形内部作 $∠ P A Q = 60 °$ ， $A Q$ 交 $C D$ 于点Q，当 $A P = 2 \sqrt{7}$ 时，请直接写出线段 $D Q$ 的长．

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