湖南省长沙市浏阳市重点校联考2023-2024学年高一（下）期中数学试卷

试卷更新日期：2024-05-31 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x^{2} = x}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${1}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 + i}{(1 - i)^{2}}$ ，则 $z$ 的虚部是( )

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} i$

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3. 已知角 $α$ 的终边上有一点 $P (1,3)$ ，则 $\frac{s i n (π - α)}{s i n (\frac{3 π}{2} + α)}$ 的值为( )

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $1$ D、 $- 1$

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4. 设 $a$ ， $b$ 是两条直线， $α$ ， $β$ 是两个平面，则 $a ⊥ b$ 的一个充分条件是( )

A、 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $α / / β$ B、 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $α / / β$ C、 $a ⊥ α$ ， $b / / β$ ， $α ⊥ β$ D、 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $α ⊥ β$

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5. 如图所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $C E$ 的中点，则 $\vec{A F} =$ ( )

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

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6. 已知圆柱的轴截面 $A B C D$ 为正方形， $E$ 为上底面圆弧 $\overset{⏜}{A B}$ 的中点，则异面直线 $D E$ 与 $A B$ 所成角的余弦值为( )

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 已知 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 均为单位向量， $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 2 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 的值为( )

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{15}{8}$

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8. 如图为函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象， $P$ ， $R$ ， $S$ 为图象与 $x$ 轴的三个交点， $Q$ 为函数图象在 $y$ 轴右侧部分上的第一个最大值点，则 $(\vec{Q P} + \vec{Q R}) \cdot (\vec{Q R} + \vec{Q S})$ 的值为( )

A、 $π - 2$ B、 $π + 4$ C、 $π^{2} - 2$ D、 $π^{2} + 4$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 以下结论正确的有( )

A、侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B、等底面积、等高的两个柱体，体积相等 C、经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大 D、有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台

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10. 以下命题正确的是( )

A、 $3 + 2 i > 1 + i$ B、 $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = 0$ C、若复数 $z$ 满足 $z = - 3 + 4 i$ ，则 $z$ 对应的点在第四象限 D、 $a = 0$ 是复数 $z = a + b i (a \in R, b \in R)$ 为纯虚数的必要不充分条件

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11. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列命题正确的有( )

A、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有一解 C、已知 $△ A B C$ 的外接圆的圆心为 $O$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $B C$ 上一点，且有 $\vec{B M} = 2 \vec{M C}$ ， $\vec{A M} \cdot \vec{A O} = \frac{6}{7}$ D、若 $△ A B C$ 为斜三角形，则 $t a n A + t a n B + t a n C = t a n A t a n B t a n C$

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是 $A D_{1}$ 的中点，点 $Q$ 是直线 $C D_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是( )

A、 $△ P B D$ 是直角三角形 B、异面直线 $P D$ 与 $C D_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ C、当 $A B$ 的长度为定值时，三棱锥 $D - P B Q$ 的体积为定值 D、平面 $P B D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 2$ ，则 $| \vec{b} | =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1,2), \vec{b} = (4,3)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 的方向上的投影向量为 $. ($ 结果用坐标表示 $)$

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15. 已知函数 $f (x) = t \cdot x^{2} - 2 x + 3 t$ ，若 $\forall x \in (0,1)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是．

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16. 如图，有一圆柱形的开口容器 $($ 下表面密封 $)$ ，其轴截面是边长为 $2$ 的正方形， $P$ 是 $B C$ 中点，现有一只蚂蚁位于外壁 $A$ 处，内壁 $P$ 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{s i n 2 A}{c o s A} = \frac{\sqrt{3} a}{b}$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $a = 2 c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $b$ ．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (- 2,2)$ ， $\vec{b} = (4,3)$ ．

(1)、若向量 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，且 $| \vec{c} | = 3 \sqrt{2}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值．

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19. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求圆锥的底面积；

(2)、在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.

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20. 如图，有一直径为 $8$ 米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 $5$ 倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的 $C$ 处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是 $∠ E C F = \frac{π}{6}$ ，点 $E$ ， $F$ 的直径 $A B$ 上，且 $∠ A B C = \frac{π}{6}$ ．

(1)、若 $C E = \sqrt{13}$ ，求 $A E$ 的长；

(2)、设 $∠ A C E = α$ ，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a - e^{x}}{e^{x} + a}$ 是定义域为 $R$ 的奇函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若对 $\forall x \in [1,2]$ ，不等式 $f (2^{x + 1} - 4^{x}) + f (1 - m) > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B F ⊥ A D$ ， $B C = 2$ ， $B E = E F = F C = 1$ ．

(1)、求证：平面 $B C F E ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若直线 $A E$ 与平面 $B C F E$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，求平面 $D E C$ 和平面 $A B C$ 所成角的正切值．

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