广西钦州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-05-31 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 化简 $\vec{M E} + \vec{E N} - \vec{P N} =$ （）

A、 $\vec{M N}$ B、 $\vec{M P}$ C、 $\vec{N M}$ D、 $\vec{P M}$

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2. 已知扇形的半径为3，面积为 $\frac{3 π}{2}$ ，则该扇形的圆心角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $A = 12 0^{∘}, C = 1 5^{∘}, A C = \sqrt{6},$ 则 $B C =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 不等式 $t a n (x + \frac{π}{3}) < 1$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{5 π}{6} + k π, - \frac{π}{12} + k π) (k \in Z)$ B、 $(- \frac{5 π}{6} + 2 k π, - \frac{π}{12} + 2 k π) (k \in Z)$ C、 $(- \frac{π}{2} + k π, - \frac{π}{4} + k π) (k \in Z)$ D、 $(- \frac{π}{2} + 2 k π, - \frac{π}{4} + 2 k π) (k \in Z)$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

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6. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 图象上所有点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = s i n 2 x$ B、 $g (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $g (x) = 2 s i n 2 x$ D、 $g (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$

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7. 设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $△ A B C$ 的周长为 $\frac{a s i n B}{s i n A + s i n B - s i n C}$ ，则（）

A、 $C = \frac{2 π}{3}$ B、 $B = \frac{2 π}{3}$ C、 $C = \frac{π}{3}$ D、 $B = \frac{π}{3}$

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8. 已知 $△ A B C$ 内有一点 $O$ 满足 $O A^{2} - O B^{2} = A C^{2} - B C^{2},$ 则向量 $\vec{O C}$ 与 $\vec{A B}$ 的夹角为（）

A、锐角 B、直角 C、钝角 D、平角

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x + \frac{π}{6}),$ 则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x - \frac{π}{12})$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4}, \frac{5 π}{6}]$ 上单调递增

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10. 某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔 $A B$ 的示意图，其中 $A B$ 与地面垂直，从地面上 $C$ 点看塔顶 $A$ 的仰角为 $β,$ 沿直线 $B C$ 向外前进 $a$ 米到点 $D$ 处，此时看塔顶 $A$ 的仰角为 $α,$ 根据以上数据得到塔高为 $h$ 米，则（）

A、 $A C = \frac{s i n α}{s i n (β - α)}$ 米 B、 $h = \frac{a s i n α s i n β}{s i n (β - α)}$ 米 C、 $A D = \frac{a s i n β}{s i n (β - α)}$ 米 D、 $B D = a [1 + \frac{s i n α c o s β}{s i n (β - α)}]$ 米

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11. 已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是平面内两两不共线的向量，且 $| \vec{a} + \vec{c} | = | 2 \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} |,$ 则（）

A、 $\vec{c} ⊥ (\vec{c} + 2 \vec{a})$ B、 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\frac{| \vec{a} |}{| \vec{a} - \vec{b} |} > \frac{1}{2}$ D、当 $λ < - \frac{1}{2}$ 时， $\vec{c}$ 与 $\vec{a} - λ \vec{c}$ 的夹角为锐角

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $c o s (\frac{π}{2} - x) = - \frac{\sqrt{3}}{3},$ 则 $s i n (π + x) =$ ．

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13. 在边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $M, N$ 分别为 $B C, C D$ 的中点， $\vec{A M} \cdot \vec{A B} = 5,$ 则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} =$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ 若 $s i n^{2} A - s i n^{2} B + s i n^{2} C = s i n A s i n C,$ 且 $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $2 \sqrt{3},$ 则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知角 $α$ 以 $x$ 轴的非负半轴为始边， $P (\sqrt{2}, - 1)$ 为终边上一点．

(1)、求 $\frac{2 s i n α + c o s α}{2 s i n α - c o s α}$ 的值；

(2)、求 $\frac{s i n (π - α) c o s (α - 2 π) t a n (π - α)}{s i n (\frac{5 π}{2} - α) c o s (3 π - α) s i n (- α)}$ 的值．

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16. 已知向量 $\vec{a} = (3, 2), \vec{b} = (- 2, - 1), \vec{c} = \vec{a} + 2 \vec{b} .$

(1)、若 $(\vec{a} - \vec{b}) / / (\vec{b} + m \vec{c}),$ 求实数 $m$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{d}$ 满足 $(\vec{a} + \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{d}) = - {\vec{d}}^{2}$ 且 $\vec{d} ⊥ (\vec{a} + \vec{b}),$ 求向量 $\vec{d}$ 的坐标．

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17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ 且 $\frac{\sqrt{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2})}{a^{2} - b^{2} - c^{2}} = t a n A .$

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $15 \sqrt{3}, b = 14,$ 求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D = 4, D C = C B = 6, \vec{A B} = 2 \vec{D C},$ 点 $E, F, G, H$ 分别为线段 $D C, A B$ 上的三等分点，点 $P$ 是线段 $B C$ 上的一点．

(1)、求 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ 的值；

(2)、求 $| \vec{E G} |$ 的值；

(3)、直线 $A P$ 分别交线段 $E G, F H$ 于 $M, N$ 两点，若 $B, N, D$ 三点在同一直线上，求 $\frac{A M}{A N}$ 的值．

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19. 对于分别定义在 $D_{1}, D_{2}$ 上的函数 $f (x), g (x)$ 以及实数 $k,$ 若存在 $x_{1} \in D_{1}, x_{2} \in D_{2},$ 使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) = k,$ 则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $M (k) .$

(1)、若 $f (x) = 2 s i n x, x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]; g (x) = c o s x, x \in [0, π],$ 判断 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是否具有关系 $M (- 3),$ 并说明理由；

(2)、若 $f (x) = c o s x - 1$ 与 $g (x) = c o s^{2} x - s i n^{2} x + s i n x$ 具有关系 $M (k),$ 求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、已知 $a > 0, h (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且满足：
①在 $[0, 2 a]$ 上，当且仅当 $x = \frac{a}{2}$ 时， $h (x)$ 取得最大值1；
②对任意 $x \in R,$ 有 $h (a + x) + h (a - x) = 0 .$
判断是否存在实数 $a (a > 0),$ 使得 $f (x) = s i n 2 π x + h (x)$ 与 $g (x) = h (x) - c o s 2 π x$ 具有关系 $M (4),$ 若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．

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