广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二（下）期中数学试卷

试卷更新日期：2024-05-31 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 甲乙丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（）

A、 $A_{5}^{3}$ B、 $3 C_{5}^{1}$ C、 $3^{5}$ D、 $5^{3}$

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2. 如图是函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图像，则下列判断正确的是( )

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2,1)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(1,3)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(4,5)$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 3, - 2)$ 上单调递增

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3. 若随机变量 $ξ$ 满足 $E (1 - ξ) = 4$ ， $D (1 - ξ) = 4$ ，则下列说法正确的是( )

A、 $E ξ = - 4$ ， $D ξ = 4$ B、 $E ξ = - 3$ ， $D ξ = 3$ C、 $E ξ = - 4$ ， $D ξ = - 4$ D、 $E ξ = - 3$ ， $D ξ = 4$

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4. 设曲线 $f (x) = a s i n (- x) - l n (x + 1)$ 在 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y = x$ ，则 $a$ 的值为( )

A、 $- 2$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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5. 已知 $(1 + x) (1 - 2 x)^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{9} x^{9}$ ， $x \in R$ ，则 $2 a_{1} + 2^{2} a_{2} + \cdot \cdot \cdot + 2^{9} a_{9}$ 的值为( )

A、 $2^{9}$ B、 $2^{9} - 1$ C、 $3^{9}$ D、 $3^{9} - 1$

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6. 若 $a = \frac{1}{2} \ln 2$ ， $b = \frac{1}{3} \ln 3$ ， $c = \frac{1}{e}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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7. 国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（）

A、378 B、306 C、268 D、198

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8. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就 $.$ 在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作 $《$ 算术研究 $》$ 中首次引入了二次剩余的概念 $.$ 二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用 $.$ 已知对于正整数 $a$ ， $n (n \geq 2)$ ，若存在一个整数 $x$ ，使得 $n$ 整除 $x^{2} - a$ ，则称 $a$ 是 $n$ 的一个二次剩余，否则为二次非剩余 $.$ 从 $1$ 到 $20$ 这 $20$ 个整数中随机抽取一个整数 $a$ ，记事件 $A =$ “ $a$ 与 $12$ 互质”， $B =$ “ $a$ 是 $12$ 的二次非剩余”，则 $P (B | A) =$ ( )

A、 $\frac{3}{14}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{5}{14}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（）

A、从中任选1个球，有15种不同的选法 B、若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C、若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D、若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法

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10. 设随机变量 $ξ$ 的分布列为 $P (ξ = \frac{k}{5}) = a k (k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ ，则（）

A、 $15 a = 1$ B、 $P (0.5 < ξ < 0.8) = 0.2$ C、 $P (0.1 < ξ < 0.5) = 0.2$ D、 $P (ξ = 1) = 0.3$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ，则下列结论正确的是( )

A、函数 $f (x)$ 存在三个不同的零点 B、函数 $f (x)$ 既存在极大值又存在极小值 C、若 $x \in [t, + \infty)$ 时， $f (x)_{m a x} = \frac{5}{e^{2}}$ ，则 $t$ 的最小值为 $2$ D、当 $- e < k < 0$ 时，方程 $f (x) = k$ 有且只有两个实根

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 设随机变量X服从两点分布，若 $P (X = 1) - P (X = 0) = 0.2$ ，则 $P (X = 1) =$ ．

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13. 长期熬夜可能影响免疫力 $.$ 据某医疗机构调查，某社区大约有 $20 %$ 的人免疫力低下，而该社区大约有 $10 %$ 的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为 $40 %$ ，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为．

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14. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} + 2024 x + \frac{1}{2}$ ，且满足 $f (l n x) + f (\frac{1}{x} - 1) \leq 1$ ，则实数 $x$ 的值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 若 $x = 1$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + (a + 1) x^{2} - (a^{2} + 3 a - 3) x$ 的极大值点．

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， 4]$ 上的最值．

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16. 二项式 $(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} - \frac{x}{2})^{n}$ 展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的 $4$ 倍 $.$ 求：

(1)、展开式中所有二项式系数的和；

(2)、展开式中所有的有理项．

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17. 玻璃杯成箱出售，共 $3$ 箱，每箱 $20$ 只．假设各箱含有 $0$ ， $1$ ， $2$ 只残次品的概率对应为 $0.8$ ， $0.1$ 和 $0.1 .$ 一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看 $4$ 只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买．求：

(1)、顾客买下该箱玻璃杯的概率；

(2)、在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率．

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18. 已知某闯关游戏，第一关在 $A ， B$ 两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束． $A$ 情境寻宝成功获得经验值2分，否则得0分； $B$ 情境寻宝成功获得经验值3分，否则得0分．已知某玩家在 $A$ 情境中寻宝成功的概率为0.8，在 $B$ 情境中寻宝成功的概率为0.6，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．

(1)、若该玩家选择从 $A$ 情境开始第一关，记 $X$ 为经验值累计得分，求 $X$ 的分布列；

(2)、为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = (2 - a) l n x + \frac{1}{x} + 2 a x$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a \in (- 8, - 2)$ 时，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [1,2]$ ，使得 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | > (m + l n 2) a - 2 l n 2 + \frac{1}{2} l n (- a)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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