四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-31 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = 3^{n} - 1$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、81 B、162 C、243 D、486

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2. 已知直线 $l_{1}$ 的倾斜角为 $30 °$ ，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，则直线 $l_{2}$ 的斜率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 若曲线 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 a x - 4 a y - 10 a = 0$ 表示圆，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$ C、 $[- 2, 0]$ D、 $(- \infty, - 2] ∪ [0, + \infty)$

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4. 直线 $y = x + 1$ 被圆 $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ 所截得的弦长为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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5. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2}$ ， $a_{6}$ 是方程 $x^{2} - 8 x + m = 0$ 两根，若 $a_{3} a_{5} = 3 a_{4}$ ，则m的值为（）

A、3 B、9 C、 $- 9$ D、 $- 3$

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6. 甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有 $A, B, C$ 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在 $A$ 小区的概率为（）

A、 $\frac{193}{243}$ B、 $\frac{100}{243}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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7. 设 $A$ ， $B$ 为任意两个事件，且 $A ⊆ B$ ， $P (B) > 0$ ，则下列选项必成立的是（）

A、 $P (A) > P (A | B)$ B、 $P (A) \geq P (A | B)$ C、 $P (A) < P (A | B)$ D、 $P (A) \leq P (A | B)$

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8. 已知 $a = \frac{l n 2}{2}$ ， $b = \frac{l n 3}{e}$ ， $c = \frac{\sqrt{2}}{e^{\sqrt{2}}}$ ，则（参考数据： $l n 2 \approx 0.7$ ）（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 下列说法中正确的有（）

A、 ${(s i n \frac{π}{4})}^{^{'}} = c o s \frac{π}{4}$ B、函数 $y = \frac{l n x + 1}{x}$ 的单调增区间为 $(- \infty, 1)$ C、一质点的运动方程为 $S (t) = t^{2} - 1$ ，则该质点在 $t = 2$ 时的瞬时速度是 $4 m / s$ D、 $y = l o g_{2} (2 x)$ ，则 $y^{'} = \frac{1}{x l n 2}$

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10. 已知 ${(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + ⋯ + a_{7} {(x - 1)}^{7}$ ，下列结论正确的有（）

A、 $a_{2} = - 84$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} = - \frac{3^{7} - 1}{2}$ C、 $a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + ⋯ + \frac{a_{7}}{2^{7}} = 0$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ + 7 a_{7} = - 14 \times 3^{6}$

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11. 已知等差数列{ $a_{n}$ }的前n项和 $S_{n} = k n^{2} + 16 n + k + 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $k = - 1$ B、 $a_{n} = 17 - 2 n$ C、当 $S_{n}$ 取得最大值时 $n = 8$ D、当 $S_{n}$ 取得最大值时 $n = 9$

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12. 已知 $F$ 是抛物线 $W ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $A (1 ， 2)$ 在抛物线 $W$ 上，过点 $F$ 的两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与抛物线 $W$ 交于 $B$ ， $C$ 和 $D$ ， $E$ ，过点 $A$ 分别作 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的垂线，垂足分别为 $M$ ， $N$ ，则（）

A、四边形 $A M F N$ 面积的最大值为2 B、四边形 $A M F N$ 周长的最大值为 $4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{| B C |} + \frac{1}{| D E |}$ 为定值 $\frac{1}{2}$ D、四边形 $B D C E$ 面积的最小值为32

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）

13. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则椭圆的短轴长为.

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14. 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，则取到的次品的概率为．

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15. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且底面 $A B C D$ 为菱形， $A A_{1} = 3$ ， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 12 0^{∘}$ ， $P$ 为 $B C$ 的中点， $M$ 在 $A A_{1}$ 上， $Q$ 在平面 $A B C D$ 内运动（不与 $P$ 重合），且 $P Q ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ，异面直线 $P Q$ 与 $B_{1} M$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $t a n ∠ A Q M$ 的最大值为.

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16. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右支上有一点 $M$ ，满足 $∠ F_{1} M F_{2} = 90 °$ ， $△ F_{1} M F_{2}$ 的内切圆与 $y$ 轴相切，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知圆C的圆心为 $(- 2, 1)$ ，半径为3，l是过点 $P (0, 2)$ 的直线．

(1)、判断点P是否在圆上，并证明你的结论；

(2)、若圆C被直线l截得的弦长为 $2 \sqrt{5}$ ，求直线l的方程．

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 是圆柱 $O E$ 的轴截面，点 $F$ 在底面圆 $O$ 上， $O B = B F = 1$ ，点 $G$ 是线段 $B F$ 的中点

(1)、证明： $E G / /$ 平面 $D A F$ ；

(2)、若直线 $D F$ 与圆柱底面所成角为 $4 5^{∘}$ ，求点 $G$ 到平面 $D E F$ 的距离.

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19. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有 $A$ 和 $B$ 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道 $A$ 类试题得10分；每答对1道 $B$ 类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学 $A$ 类试题中有7道题能答对，而他答对各道 $B$ 类试题的概率均为 $\frac{2}{3}$ ．

(1)、若该同学只抽取3道 $A$ 类试题作答，设 $X$ 表示该同学答这3道试题的总得分，求 $X$ 的分布和期望；

(2)、若该同学在 $A$ 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．

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20. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1 ， {\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ ，的等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 2$

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21. 如图，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a ＞ 0)$ 的右焦点 $F$ ，点 $A ， B$ 分别在C的两条渐近线上， $A F ⊥ x$ 轴， $A B ⊥ O B ， B F / / O A$ （O为坐标原点）．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、过C上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的直线 $l$ 与直线AF相交于点M ，与直线 $x = \frac{3}{2}$ 相交于点 $N$ ，证明点 $P$ 在 $C$ 上移动时， $\frac{| M F |}{| N F |}$ 恒为定值，并求此定值．

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22. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) \ln x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 恰有一个零点，求a的取值范围．

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