湖南省长沙市长郡集团2024年中考数学模拟考试试卷

试卷更新日期：2024-05-31 类型：中考模拟

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 图中比数轴上点 $A$ 表示的数大2的数是 $($ $)$

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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2. 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据十亿四千万用科学记数法表示为 $($ $)$

A、 $104 \times 1 0^{7}$ B、 $10.4 \times 1 0^{8}$ C、 $1.04 \times 1 0^{9}$ D、 $0.104 \times 1 0^{10}$

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4. 已知某三角形的三边长分别为10，3， $m$ ，则 $m$ 的值可以是 $($ $)$

A、1 B、5 C、7 D、9

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5. 已知一瓶牛奶的营养成分中碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共 $30 g$ ，根据成分表，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，设蛋白质、脂肪的含量分别为 $x (g)$ ， $y (g)$ ，可列出方程为 $($ $)$

A、 $\frac{5}{2} x + y = 30$ B、 $x + \frac{5}{2} y = 30$ C、 $\frac{3}{2} x + y = 30$ D、 $x + \frac{3}{2} y = 30$

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6. 某地学校正评选学生最喜欢的风景胜地，校方进行问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图．已知选择楠溪江的有240人，那么选择雁荡山的有 $($ $)$

A、90人 B、180人 C、270人 D、360人

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7. 小红同学在一次作业中完成了以下作图步骤：
①在 $O A$ 和 $O B$ 上分别截取 $O C$ ， $O D$ ，使 $O C = O D$ ；
②分别以 $C$ ， $D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A O B$ 内交于点 $M$ ；
③作射线 $O M$ ，连接 $C M$ ， $D M$ ，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是 $($ $)$

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ 且 $C M = D M$ B、 $∠ 1 = ∠ 3$ 且 $C M = D M$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ 且 $O D = D M$ D、 $∠ 2 = ∠ 3$ 且 $O D = D M$

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8. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：岳麓山、梅溪湖、橘子洲、植物园．若从中随机选择两个地点，则选中“橘子洲”的概率为 $($ $)$

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 如图1所示为某景区游览路线及方向，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程 $s$ 与时间 $t$ 的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
则路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为 $($ $)$

A、4200米 B、4800米 C、5200米 D、5400米

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10. “割圆术”孕育了微积分思想，领先世界近千年．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图， $⊙ O$ 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 $⊙ O$ 的面积，可得 $π$ 的估计值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 $π$ 的估计值为 $($ $)$

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\frac{4}{3} \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 分解因式： $2024 a^{2} - 2 a =$ ．

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 10 ， ∠ B = 60 °$ ，则 $A C$ 的长为．

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13. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 3 ⩾ 2 \\ \frac{3 x - 1}{2} < 4 \end{array}$ 的解是。

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14. 某学校欲招聘一名教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了基础知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：
项目
应聘者
综合知识
工作经验
语言表达
甲
75
80
80
乙
85
70
80
丙
70
70
78
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按 $5 : 3 : 2$ 的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是。

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15. 若 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，且满足 $a \neq - b$ ，则 $\frac{a b - a}{a + b}$ 的值为．

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16. 图1是 $4 \times 4$ 方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为 $\sqrt{2}$ ，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图 $2)$ ，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形 $C D E F$ 作为题字区域（点 $A$ ， $E$ ， $D$ ， $B$ 在圆上，点 $C$ ， $F$ 在 $A B$ 上），形成一幅装饰画，则圆的半径为．

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三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算： $| - 1 | + \sqrt[3]{- 8} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - (- 4)$ .

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18. 先化简，再求值： $(1 - \frac{x + 1}{x}) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

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19. 如图，在 $2 \times 4$ 的方格纸 $A B C D$ 中，每个小方格的边长为1．已知格点 $P$ ，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．

(1)、在图1中画一个等腰三角形 $P E F$ ，使底边长为 $\sqrt{2}$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上，点 $F$ 在 $A D$ 上，再画出该三角形绕矩形 $A B C D$ 的中心旋转 $180 °$ 后的图形；

(2)、在图2中画一个 $R t Δ P Q R$ ，使 $∠ P = 45 °$ ，点 $Q$ 在 $B C$ 上，点 $R$ 在 $A D$ 上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．

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20. 小明的父亲打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，已知某公司现有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．旅游的往返行程为 $210 k m$ ，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．

(1)、小明已经对 $B$ ， $C$ 型号汽车数据统计如表，请继续求出 $A$ 型号汽车的平均里程m、中位数n和众数p；
型号
平均里程 $(k m)$
中位数 $(k m)$
众数 $(k m)$
A
m
n
p
$B$
216
215
220
$C$
227.5
227.5
225

(2)、为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．

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21. 如图，已知矩形ABCD，点 $E$ 在CB延长线上，点 $F$ 在BC延长线上，过点 $F$ 作 $F H ⊥ E F$ 交ED的延长线于点 $H$ ，连结AF交EH于点 $G ， G E = G H$ .

(1)、求证： $B E = C F$ .

(2)、当 $\frac{A B}{F H} = \frac{5}{6} ， A D = 4$ 时，求EF的长.

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22. 一次足球训练中，小明从球门正前方8m的 $A$ 处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m，现以 $O$ 为原点建立如图所示直角坐标系.

(1)、求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）。

(2)、对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点 $O$ 正上方2.25m处?

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23. 如图1， $A B$ 为半圆 $O$ 的直径， $C$ 为 $B A$ 延长线上一点， $C D$ 切半圆于点 $D$ ， $B E ⊥ C D$ ，交 $C D$ 延长线于点 $E$ ，交半圆于点 $F$ ，已知 $O A = \frac{3}{2}$ ， $A C = 1$ ．如图2，连结 $A F$ ， $P$ 为线段 $A F$ 上一点，过点 $P$ 作 $B C$ 的平行线分别交 $C E$ ， $B E$ 于点 $M$ ， $N$ ，过点 $P$ 作 $P H ⊥ A B$ 于点 $H$ ．设 $P H = x$ ， $M N = y$

(1)、求 $C E$ 的长和 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、当 $P H < P N$ ，且长度分别等于 $P H$ ， $P N$ ， $a$ 的三条线段组成的三角形与 $Δ B C E$ 相似时，求 $a$ 的值；

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24. 我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax²+bx+c为一次函数y＝a+b和反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 的“幸福函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在 $y = - \frac{2}{x}$ 上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x²﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的“幸福函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．

(1)、判断一次函数y＝x+2和反比例函数 $y = - \frac{3}{x}$ 是否存在“幸福函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由；

(2)、若一次函数y＝x﹣k+1与反比例函数 $y = \frac{k + 2}{x}$ 只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；

(3)、已知一次函数y＝ax+b与反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“幸福函数”y＝ax²+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝0②“幸福函数”经过点（﹣3，4）③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S ，求 $\frac{S}{a}$ 的取值范围．

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25. 在图1中有Rt $Δ A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $D$ 是 $A B$ 边上不与 $A$ ， $B$ 重合的一个定点． $A O ⊥ B C$ 于点 $O$ ，交 $C D$ 于点 $E$ ． $D F$ 是由线段 $D C$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到的， $F D$ ， $C A$ 的延长线相交于点 $M$ ．

(1)、求证： $Δ A D E ∽ Δ F M C$ ；

(2)、试求 $∠ A B F$ 的正切值；

(3)、如图2，若 $N$ 是 $A F$ 的中点，求证： $N D = N O$ ．

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项目应聘者	综合知识	工作经验	语言表达
甲	75	80	80
乙	85	70	80
丙	70	70	78

型号	平均里程 $(k m)$	中位数 $(k m)$	众数 $(k m)$
A	m	n	p
$B$	216	215	220
$C$	227.5	227.5	225