四川省凉山州2024年中考数学适应性考试试题

试卷更新日期：2024-05-31 类型：中考模拟

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一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.

1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A、 $(x - 1) (x - 3) = x^{2}$ B、 $a x^{2} + b x + c = 0$ C、 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ D、 $\frac{2}{x^{2}} + 3 x - 5 = 0$

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2. 已知 $y = (a - 1) x^{2} - 2 x + a^{2}$ 是关于x的二次函数，其图象经过 $(0, 1)$ ，则a的值为（）

A、 $a = \pm 1$ B、 $a = 1$ C、 $a = - 1$ D、无法确定

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3. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（）
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…

A、对称轴是直线 $x = - 2$ B、抛物线开口向下 C、当 $x > - 2$ 时，y随x的增大而减小 D、当 $x = - 4$ 时， $y = - 11$

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4. 如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 $540 m^{2}$ ，设道路宽为 $x m$ ，根据题意，所列方程正确的是（）

A、 $(20 + x) (32 - x) = 540$ B、 $(20 - x) (32 + x) = 100$ C、 $(20 - x) (32 - x) = 540$ D、 $(20 + x) (32 + x) = 540$

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5. 下列说法正确的是（）

A、方程 $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ 的两根之和为－2 B、抛物线 $y = - x^{2} - 2 x - 1$ 可由 $y = - x^{2}$ 向右平移1个单位得到 C、任意三点确定一个圆 D、三角形的内心到三角形各边的距离相等

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6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点 $A (3, 0)$ ， $C (0, 2)$ ，将矩形OABC绕点O逆时针旋转 $90 °$ ，旋转后点B的对应点 $B^{'}$ 的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（）

A、 $(- 2, 3)$ 和 $\frac{\sqrt{13}}{2} π$ B、 $(- 3, 2)$ 和 $\frac{\sqrt{13}}{2} π$ C、 $(- 2, 3)$ 和 $\frac{\sqrt{13}}{4} π$ D、 $(- 3, 2)$ 和 $\frac{\sqrt{13}}{4} π$

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7. 建设中的“乐西高速”是乐山市与西昌市的重要通道，建成后将极大改善区域内交通运输条件，并对沿途各县的经济发展有极大地促进作用，如图是其中一个在建隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是 $⊙ O$ 中弦CD的中点，EM经过圆心O交 $⊙ O$ 于点E ，且 $C D = 8 m$ ， $E M = 8 m$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）m

A、5 B、6.5 C、7.5 D、8

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8. 如图，四边形ABCD内接于 $⊙ O$ ， E为BC延长线上一点.若 $∠ D C E = 65 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数是（）

A、 $65 °$ B、 $115 °$ C、 $130 °$ D、 $140 °$

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9. “莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形.如图，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”.若等边三角形ABC的边长为2，则该“莱洛三角形”的面积等于（）

A、 $2 π$ B、 $2 π - \sqrt{3}$ C、 $2 π - 2 \sqrt{3}$ D、 $2 π + \sqrt{3}$

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10. 已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为10，则这个圆锥的侧面积为（）

A、 $20 π$ B、 $40 π$ C、 $10 π$ D、40

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11. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A C = 4$ ， D为AB的中点.以A为圆心，r为半径作 $⊙ A$ ，若B、C、D三点中只有一点在 $⊙ A$ 内，则 $⊙ A$ 的半径r的取值范围是（）

A、 $2.5 < r \leq 4$ B、 $2.5 < r < 4$ C、 $2.5 \leq r \leq 4$ D、 $2.5 \leq r < 4$

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，其对称轴为直线 $x = 1$ ，与x轴的其中一个交点在 $(- 1, 0)$ 与 $(0, 0)$ 之间，以下结论错误的是（）

A、 $a b c > 0$ B、 $2 a + b = 0$ C、 ${(a + c)}^{2} - b^{2} < 0$ D、 $8 a + c < 0$

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二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

13. 若m是方程 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ 的一个根，则代数式 $2032 - 2 m^{2} + 4 m$ 的值为.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ C = 55 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，若点 $C^{'}$ 恰好落在线段AC上，AB、 $A^{'} C^{'}$ 交于点D ，则 $∠ A^{'} D B$ 的度数是.

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15. “石头、剪刀、布”是学生之间喜爱的趣味游戏，一般规定：“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”，若甲乙两位同学做这种游戏，随机出手一次，则甲获胜的概率为.

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16. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m.若在此基础上水面下降1m，则水面宽度为.

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17. 如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O ，过点C作直线切半圆于点F ，交AD边于点E ，若 $△ C D E$ 的周长为24，则四边形ABCE的周长为.

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三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18. 解方程

(1)、 $x^{2} + 10 x + 16 = 0$

(2)、 $3 x (x - 1) = 2 x - 2$

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} + \frac{3}{2} m - 1 = 0$ 有两个实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个实数根，当m为何值时， $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 有最小值？并求这个最小值.

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20. 如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1, 1)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (3, 4)$ .

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于原点的中心对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在x轴上找一点P ，使 $P A + P B$ 的值最小，请直接写出点P的坐标.

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21. 现有四个质地完全相同的小球分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形的字样，将这四个小球装入一个不透明的布袋中搅匀后，进行下列操作：

(1)、若任意抽取一个小球，抽到小球上字样的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；

(2)、若任意抽取一个小球记下印有字样后不放回，然后再从余下的抽取一个小球记下字样.请用树状图或列表法表示先后取出的两个小球字样的所有可能结果，并求抽出的两个小球字样的图形都是中心对称图形的概率.

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22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以AC为直径的 $⊙ O$ 交AB于点D ， E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.

(1)、求证：DE是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A = 30 °$ ， $D F = 3$ ，求CE长.

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四、填空题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

23. 当 $0 \leq x \leq 4$ 时，直线 $y = a$ 与抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 2$ 有交点，则a的取值范围是.

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24. 如图， $∠ M O N = 90 °$ ，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中 $A B = 6$ ， $B C = 2$ .运动过程中，点D到点O的最大距离是.

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五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

25. 对于三个数a、b、c ，用 $M {a, b, c}$ 表示这三个数的平均数，用 $m a x {a, b, c}$ 表示这三个数中的最大数；即 $M {a, b, c} = \frac{a + b + c}{3}$ ，例如 $M {- 1, 2, 3} = \frac{- 1 + 2 + 3}{3} = \frac{4}{3}$ ；若满足 ${\begin{cases} a \geq b \\ a \geq c \end{cases}$ ，则 $m a x {a, b, c} = a$ ，例如 $m a x {- 2, - 1, 0} = 0$ ， $m a x {- 1, - 1, - 3} = - 1$ ，根据上述材料，完成下列问题：

(1)、 $M {- 3, - 1, 7} =$ ；若 $m a x {1, 3 - 2 x, 3 x - 5} = 1$ ，则x的取值范围为；

(2)、若 $M {- x + 5, 12, 10 x + 7} = m a x {3, x^{2} + 2 x + 6, 4}$ ，求x的值.

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26. 如图，CD是 $⊙ O$ 的直径，点P是CD延长线上一点，且AP与 $⊙ O$ 相切于点A ，弦 $A B ⊥ C D$ 于点F ，过D点作 $D E ⊥ A P$ 于点E.

(1)、求证： $∠ E A D = ∠ F A D$ ；

(2)、若 $P A = 4$ ， $P D = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径和DE的长.

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27.

(1)、如图1， $△ A B C$ 中，点D是边BC的中点，若 $A B = 6$ ， $A C = 4$ ，求中线AD的取值范围.
图1
解：∵点D是边BC的中点，∴ $B D = C D$ ，
将 $△ A C D$ 绕点D旋转 $180 °$ 得到 $△ E B D$ ，
即得 $△ A C D ≌ △ E B D$ ，且A ， D ， E三点共线，
在 $△ A B E$ 中，可得AE的取值范围是：
$6 - 4 < A E < 6 + 4$ ；
∴AD的取值范围是：.

(2)、如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点D是BC边的中点， $∠ M D N = 90 °$ ， $∠ M D N$ 的两边分别交AB于点E ，交AC于点F ，连接EF.探究线段BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由.
图2

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28. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于 $A (- 3, 0)$ 、B两点，与y轴交于点 $C (0, 3)$ .

(1)、求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)、若点E在抛物线上，且 $S_{△ E O C} = S_{△ A B C}$ ，求点E的坐标；

(3)、点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作 $P M ⊥ x$ 轴于点M ，过点P作 $P Q ∥ A B$ 交抛物线于点Q ，过点Q作 $Q N ⊥ x$ 轴于点N.设点P的横坐标为点m ，请用含m的代数式表示矩形PQNM的周长，并求矩形PQNM周长的最大值.

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x	…	－3	－2	－1	0	1	…
y	…	－3	－2	－3	－6	－11	…