广西壮族自治区崇左市宁明县2023-2024学年七年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-05-31 类型：期中考试

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一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1. 4的平方根是（）

A、2 B、 $\pm 2$ C、4 D、 $\pm 4$

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2. 下列实数中，是无理数的是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\sqrt[3]{- 1}$

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3. 不等式 $x > 1$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（）

A、 $0.84 \times 1 0^{- 4}$ B、 $8.4 \times 1 0^{- 6}$ C、 $8.4 \times 1 0^{- 4}$ D、 $8.4 \times 1 0^{- 5}$

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5. 如果x<y ，那么下列不等式变形正确的是（）

A、 $\frac{x}{3} < \frac{y}{3}$ B、 $- 3 x < - 3 y$ C、 $x - 3 > y - 3$ D、 $x + 1 > y + 1$

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6. 如图，A ， B ， C ， D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示 $\sqrt{10}$ 的是（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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7. 下列运算正确的是（）

A、 $(2 a^{2})^{3} = 2 a^{6}$ B、 $4 a^{6} \div a^{3} = 4 a^{2}$ C、 $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 $(b - 2 a) (2 a + b) = b^{2} - 4 a^{2}$

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8. 已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入x的值是 $- 64$ 时，输出y的值是（）

A、 $- 4$ B、 $- \sqrt[3]{4}$ C、 $- 2$ D、 $- \sqrt[3]{2}$

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9. 不等式组 $\{\begin{cases} x - 2 ＜ 0 \\ - 2 x - 1 \leq 1 \end{cases}$ 的整数解有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：① $(2 a + b) (m + n)$ ；② $m (2 a + b) + n (2 a + b)$ ；③ $2 a (m + n) + b (m + n)$ ；④ $2 a m + 2 a n + b m + b n$ ．你认为正确的有（）

A、①② B、①③ C、①②③ D、①②③④

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11. 设 $M = (x + 3) (x - 7)$ ， $N = (x + 1) (x - 5)$ ，则M与N的大小关系为（）

A、 $M < N$ B、 $M > N$ C、 $M = N$ D、不能确定

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12. 若 $m^{2} - n^{2} = 6$ ，则 $(m + n)^{2} (m - n)^{2}$ 的值是（）

A、8 B、12 C、24 D、36

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二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

13. 比较大小： $- \sqrt{11}$ $- 2$ ．（填“>”或“<”或“=”）

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14. 计算 $(2 a) \cdot a^{5}$ 的结果为．

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15. 化简 $| \sqrt{5} - 3 |$ 的结果为．

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16. 已知长方形的面积为 $(2 a^{2} b - 4 a^{2} + 6 a)$ ，宽为2a ，则长方形的长为．

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17. 若 $x^{a} = 2$ ， $x^{b} = 5$ ，则 $x^{a - b} =$ ．

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18. 若关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{cases} x - 3 y = 4 m + 2 \\ x + 5 y = 8 \end{cases}$ ，的解满足 $x + y \leq 1$ ，则m的取值范围是．

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三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算： $\sqrt{36} - {(\frac{1}{3})}^{- 1} + \sqrt[3]{- 8} + {(1 - π)}^{0}$ ．

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20. 已知一个正数的平方根是 $a - 5$ 和 $a + 1$ ， $b + 9$ 的立方根是2，求：

(1)、a ， b的值；

(2)、 $4 a - b$ 的算术平方根．

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21. 先化简，再求值： $[(x + 2 y) (x - 2 y) + 4 y (x + y)] \div x$ ，其中 $x = 2$ ， $y = - 1$ ．

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22. 解不等式（组）：

(1)、解不等式： $5 x - 5 < 2 (2 + x)$ ；

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x + 1 \leq 3 x + 3 \\ \frac{2 x - 1}{3} > \frac{3 x + 1}{2} \end{array}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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23. 阅读材料后解决问题．
小明遇到下面一个问题：计算 $(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1)$ ．经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
$(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1)$
$= (2 - 1) (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1)$
$= (2^{2} - 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) = (2^{4} - 1) (2^{4} + 1) = 2^{8} - 1$ ．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
计算：

(1)、 $(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1)$

(2)、 $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{2^{4}}) (1 + \frac{1}{2^{8}}) + \frac{1}{2^{15}}$ ．

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24. 若 $a^{m} = a^{n}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， m ， n都是正整数），则 $m = n$ ．
利用上述结论解决下列问题：

(1)、若 $27 \times 9^{n + 1} \times 3^{2 n - 1} = 3^{16}$ 求n的值；

(2)、若 $2^{2 x + 2} - 2^{2 x + 1} = 32$ 求x的值．

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25. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．已知购买4副象棋和6副围棋共需280元，购买8副象棋和2副围棋共需260元．

(1)、求每副象棋和围棋的单价；

(2)、若学校准备购买象棋和围棋共90副，总费用不超过2512元，那么最多能购买多少副围棋？

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26. 请认真观察图形，解答下列问题：

(1)、根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示出来；

(2)、如果图中的a ， $b (a > b)$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 64$ ， $a b = 18$ ，分别求 $a + b$ ； ${(a - b)}^{2}$ 的值；

(3)、已知 $(4 + 3 x)^{2} + (3 x + 1)^{2} = 29$ ，求 $(4 + 3 x) (3 x + 1)$ 的值．

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