四川省成都市青羊区2024年中考数学二诊模拟考试试题

试卷更新日期：2024-05-31 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

1. 有理数 $- 2024$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2024}$ B、 $- \frac{1}{2024}$ C、2024 D、 $- 2024$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $3 x^{2} + 2 x^{2} = 6 x^{4}$ B、 ${(- 2 x^{2})}^{3} = - 6 x^{6}$ C、 ${(x + 2)}^{2} = x^{2} - 4 x + 4$ D、 $- 6 x^{2} y^{3} \div 2 x^{2} y^{2} = - 3 y$

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3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水中时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，水面和杯底互相平行，
$∠ 1 + ∠ 2 = 130 °$ ， $∠ 3 = 100 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $55 °$ B、 $50 °$ C、 $45 °$ D、 $40 °$

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4. 如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 关于反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、图象分布在第一、二象限 B、在各自的象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 C、函数图象关于 $y$ 轴对称 D、函数图象与直线 $y = 2 x$ 有两个交点

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6. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了40名学生，调查结果列表如下：
锻炼时间/h
5
6
7
8
人数
9
13
12
6
则这40名学生在校一周体育锻炼时间的中位数为（）

A、5h B、6h C、7h D、8h

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7. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑（xǔ）酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清酒有 $x$ 斗，那么可列方程为（）

A、 $3 x + 10 (5 - x) = 30$ B、 $\frac{x}{3} + \frac{30 - x}{10} = 5$ C、 $10 x + 3 (5 - x) = 30$ D、 $\frac{x}{10} + \frac{30 - x}{3} = 5$

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8. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴相交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, 0)$ 两点，则以下结论：① $a c < 0$ ；②对称轴为 $x = 1$ ；③ $2 a + c = 0$ ；④ $a + b + c > 0$ ．其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

9. 因式分解 $3 x (x - 2) + 2 (x - 2) =$ ．

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10. 2023年12月22日成都市政府新闻办召开解读《成都大运会绿色低碳办赛报告》新闻通气会，记者在会上获悉，成都大运会通过新能源汽车使用、无纸化办公、办公租赁、减少塑料制品等措施产生碳减排3.2万吨，3.2万用科学记数法表示为．

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11. 若点 $A (m, - 3)$ 与点 $B (- 4, n)$ 关于原点对称，则 $m + 2 n =$ ．

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12. 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，该图案绕中心至少旋转度后能与原图案重合．

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，按以下步骤作图：①以点 $B$ 为圆心，以适当长为半径作弧分别交 $A B$ ， $B C$ 于 $M$ ， $N$ 两点；②以点 $M$ 和点 $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径作弧，两弧交于点 $P$ ；③作射线 $B P$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，过 $E$ 作 $E F ⊥ B E$ 交 $B C$ 延长线于 $F$ ．若 $A B = 4$ ， $B C = 5$ ，则 $C F =$ ．

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三、解答题（本大题共5个小题，共48分）

14.

(1)、计算： ${(- \frac{1}{3})}^{- 2} + c o s 45 ° + {(2 - \sqrt{3})}^{0} - \sqrt{\frac{1}{2}}$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 4 x > 2 x + 1 \\ \frac{x + 2}{5} - \frac{x - 1}{4} \geq \frac{1}{2} \end{array}$

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15. 实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，刘老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类
（ $A$ ：特别好， $B$ ：好， $C$ ：一般， $D$ ：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：

(1)、本次调查中，刘老师一共调查了名学生；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、为了共同进步，刘老师先从被调查的 $A$ 类学生中选一名学生，再从被调查的 $D$ 类选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中两名同学恰好一男一女的概率．

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16. 在汉代之后，荡秋千逐渐成为清明、端午等节日进行的民间习俗活动并流传．现在也深受儿童的喜爱，如图所示成都市某公园的秋千，秋千链子的长度为 $3.2 m$ ，当摆角 $∠ A O C$ 为 $30 °$ 时，座板离地面的高度 $A M$ 为 $1 m$ ，当摆动至最高位置时，摆角 $∠ B O C$ 为 $60 °$ ，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到 $0.1 m$ ；参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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17. 如图1， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ， $D$ 为 $A C$ 上一点， $A E ∥ B C$ 交 $C D$ 延长线于点 $E$ ．
图1 图2

(1)、求证： $A E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如图2，连接 $B D$ ， $B D$ 恰好过圆心，过点 $A$ 作 $A G ⊥ B D$ 于 $G$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ B D$ 于 $F$ ．
①求证： $△ A B G ≌ △ A C E$ ；
②若 $G F = 2$ ， $D F = 1$ ，求 $B D$ 的长．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l : y = - \frac{3}{4} x + 3$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A 、 B$ ，与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于点 $C (6, m)$ ， $D$ 两点，直线 $x = t$ 分别与直线 $l$ 和双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于 $M 、 N$ ，连接 $B N$ ， $C N$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、点 $M$ 在线段 $A B$ 上（不与端点 $A 、 B$ 重合），若 $C M = C N$ ，求 $△ B C N$ 的面积；

(3)、将点 $N$ 沿直线 $A B$ 翻折后的对应点为 $N^{'}$ ，当 $N^{'}$ 落在 $x$ 轴上时，求 $t$ 的值．

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四、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）

19. 已知 $4 a + b = 0$ ，则代数式 $1 - \frac{a - b}{a + 2 b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}}$ 的值为．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + m + 1 = 0$ ．若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个实数根，且 $x_{1} x_{2} - m x_{1} - m x_{2} - m = 3$ ，则 $m$ 的值为．

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21. 如图，在 $6 \times 6$ 的正方形网格飞镖游戏板中，每个小正方形的顶点称为格点，阴影部分是一个“水滴”形图案，点 $A 、 B 、 C 、 D$ 都是格点，图案由过 $B 、 C 、 D$ 三点的圆的圆弧与过点 $A$ 作该圆的两条切线围成，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率是．

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22. 如图， $D$ ， $E$ ， $F$ 在 $△ A B C$ 的三边 $B C 、 C A 、 A B$ 上，若 $A D 、 B E 、 C F$ 把 $△ A B C$ 的周长成两条等长的折线，即 $A B + B D = A C + C D = B C + C E = A B + A E = B C + B F = A C + A F = \frac{1}{2} (A B + B C + A C)$ ，则 $A D 、 B E 、 C F$ 三线相交于 $P$ 点，此点称为三角形的“界心”，亦称“奈格尔点”．当 $B D = 2$ 且 $△ A C D$ 为等边三角形时， $A C$ 长为．

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23. 如图，在正方形 $A B C D$ ，点 $E$ ， $F$ 在射线 $B C$ 上， $∠ E A F = 45 °$ ，则 $\frac{B E}{E F}$ 最大值是．

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五、解答题（共30分）

24. “直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元．

(1)、求商场购进第一批“小金龙”每件的进价．

(2)、直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）满足一次函数关系 $y = - 10 x + 410$ ，设每分钟的销售利润为 $w$ 元，求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并求 $w$ 最大值．

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25. 抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + c (a < 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ 和点 $B$ （点 $C$ 在原点的左侧，点 $B$ 在原点的右侧），与 $y$ 轴交于点 $A$ ， $O A = O C = 3$ ．
图1 图2

(1)、求该抛物线的函数解析式；

(2)、如图1，直线 $y = k x + k + 1 (k < 0)$ 交抛物线于 $D$ ， $E$ 两点， $P$ 为抛物线顶点，连接 $P D$ ， $P E$ ，若 $△ P D E$ 面积为 $\frac{21}{4}$ ，求 $k$ 的值；

(3)、如图2， $M$ ， $N$ 是直线 $A C$ 上的两个动点， $M$ 在 $N$ 点左边且 $M N = 2 \sqrt{2}$ ， $P$ 是直线下方抛物线上的点， $∠ M P N = 90 °$ ， $t a n ∠ M N P = \frac{1}{2}$ ，求满足条件的 $P$ 点的横坐标．

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26. 在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于 $O$ ， $E$ 为 $B C$ 边上的动点，过点 $E$ 作射线 $E F$ ，使 $∠ A E F = ∠ A B C$ ， $E F$ 交射线 $A D$ 于 $F$ ．

(1)、如图1， $G$ 为 $O D$ 上一点，且 $G$ 为 $△ A C D$ 重心，求 $\frac{O G}{G D}$ 的值；

(2)、如图2，当 $E$ 运动到 $B C$ 中点时，射线 $E F$ 恰好过 $△ A C D$ 的重心 $G$ ．
（ⅰ）求 $c o s ∠ A B C$ 的值；
（ⅱ）若 $A B = 7$ ，过 $A$ 作 $A H ⊥ A E$ 交射线 $E F$ 于 $H$ ，连接 $C H$ ， $D H$ ，在点 $E$ 从 $B$ 运动到 $C$ 的过程中，求折线段 $C H D$ 扫过的图形面积．

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锻炼时间/h	5	6	7	8
人数	9	13	12	6