云南省昭通市绥江县2023-2024学年八年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-05-31 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）

1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{15}$ B、 $\sqrt{15 m}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{15}}$ D、 $\frac{1}{\sqrt{15}}$

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2. 下列各组数中，是勾股数的是（）

A、0.6，0.8，1 B、 $\sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{7}$ C、8，15，17 D、2，6，8

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3. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，下列说法正确的是（）

A、 $O A = O C$ B、 $O A = O B$ C、 $∠ A B D = ∠ C B D$ D、 $∠ B A D = 2 ∠ A D C$

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4. 下列各式中，能与 $\sqrt{3}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、3 C、 $\sqrt{18}$ D、 $\sqrt{27}$

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5. 以一个直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（）

A、32 B、 $16 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别为 $A B$ 、 $A C$ 的中点，连接 $D E$ ，则 $\frac{D E}{B C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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7. 若 $\sqrt{x + 3}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 3$ B、 $x \geq - 3$ C、 $x \geq 0$ D、 $x > - 3$

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8. 如图， $△ A B C$ 在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（）

A、 $B C = 5$ B、 $△ A B C$ 的面积为5 C、 $∠ A = 90 °$ D、点 $A$ 到 $B C$ 的距离为 $\frac{5}{2}$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °, A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D$ ， $A E$ 是 $B C$ 边上的中线，若 $D E = 5, B D = 8$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、13 B、12 C、8 D、5

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10. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{4 a} + \sqrt{16 a} = 6 a$ B、 $\sqrt{45} - \sqrt{20} = 5$ C、 $\sqrt{9 \times 16} = 12$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3 a}} = \frac{2 \sqrt{a}}{a}$

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11. 下列命题的逆命题是真命题的是（）

A、正方形的对角线互相垂直平分且相等 B、对顶角相等 C、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ D、正数的绝对值是它本身

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A B = 5, A C = 6$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为（）

A、12 B、24 C、30 D、48

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13. 已知 $\sqrt{8 - n}$ 是整数， $n$ 是正整数，则 $n$ 的所有可能的取值的和是（）

A、11 B、12 C、15 D、19

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14. 如图，一架梯子 $A C$ 原本斜靠在一面竖直的墙上，梯子顶端到墙脚的距离 $A B = 2.4$ 米，底端到粫脚的距离 $B C = 0.7$ 米．因地面湿滑，梯子顶端 $A$ 下滑至点 $D$ 处，底端 $C$ 滑动至点 $E$ 处，测量得 $B D = 1.5$ 米，则 $C$ 、 $E$ 两点之间的距离为（）

A、2米 B、1.3米 C、0.9米 D、0.7米

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15. 如图，点 $E$ 在正方形 $A B C D$ 的内部，且在对角线 $B D$ 的上方，连接 $A E$ 、 $D E$ ，若 $∠ B A E = ∠ A D E$ ，则 $∠ A E D$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $85 °$ C、 $90 °$ D、 $95 °$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）

16. 计算： $\sqrt{{(- 7)}^{2}}$ = ．

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17. 在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(6, 8)$ ，则点 $A$ 到坐标原点的距离为．

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18. 已知a、b均为实数，若 $\sqrt{a - 2} + (b + 1)^{2} = 0$ ，则 $a + b =$ ．

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19. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为．

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三、解答题（本大题共8小题，共62分）

20. 已知 $x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ ，求代数式 $(8 - 2 \sqrt{15}) x^{2} + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) x$ 的值．

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，连接 $A C, ∠ B A C = ∠ D C A, ∠ B = ∠ D$ ，求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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22. 电流通过导线时会产生热量，电流 $I$ （单位：A）、导线电阻 $R$ （单位： $Ω$ ）、通电时间 $t$ （单位： $s$ ）与产生的热量 $Q$ （单位： $J$ ）满足 $Q = I^{2} R t$ ．若一根导线的电阻为 $25 Ω$ ，通电 $4 s$ 该导线产生 $225 J$ 的热量，通过的电流为多少A?

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D, B D = 9, A D = 12, C D = 16$ ．

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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24. 如图，点 $A$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $C$ 在同一条直线上， $A B = C D, B F = D E, A E = C F$ ．

(1)、求证： $△ A B F ≌ △ C D E$ ；

(2)、若 $B E = D E, D F = 5$ ，求四边形 $B E D F$ 的周长．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B A C = 4 ∠ B$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点， $D E ⊥ A B$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ．

(1)、求 $∠ B$ 的度数；

(2)、若 $B E = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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26. 在进行二次根式的化简和计算时，我们通常可以借助平方差公式对二次根式进行化简．例如 $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．

(1)、分别化简 $\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ 、 $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ 和 $\frac{4}{4 - \sqrt{14}}$ ；

(2)、已知实数 $a$ 、 $b$ 满足 $(a + \sqrt{a^{2} + 2024}) (b + \sqrt{b^{2} + 2024}) = 2024$ ，求 $2024 - a - b$ 的值．

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27. 如图1，将矩形纸片 $A B C D$ 对折， $A B$ 与 $C D$ 重合，展开后，折痕为 $E F$ ．再次折叠，折痕 $C N$ 经过点 $C$ ，且 $C N$ 交 $E F$ 于点 $O$ ，使点 $B$ 落在 $E F$ 上的点 $G$ 处，连接 $B G$ 、 $C G$ ，点 $F$ 落在 $C G$ 上的点 $H$ 处，连接 $B H$ ．

(1)、求 $∠ A B G$ 的度数；

(2)、求证： $B H ⊥ C G$ ；

(3)、如图2，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $K$ 是边 $C D$ 上的一点，连接 $B K$ ，在 $B C$ 上取一点 $P$ ，折叠纸片，使 $B$ 、 $P$ 两点重合，展开后，折痕为 $E F$ ．沿着直线 $M N$ 折叠纸片，使点 $B$ 落在 $E F$ 上的点 $G$ 处，点 $P$ 落在 $B K$ 上的点 $Q$ 处，连接 $B G$ 、 $G Q$ ， $M N$ 交 $E F$ 于点 $O$ ．试探究 $∠ B Q G$ 与 $∠ A B G$ 之间的数量关系．

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