四川省乐山市夹江县2024年中考数学二模试题

试卷更新日期：2024-05-31 类型：中考模拟

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一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）

1. 计算： $\sqrt{9} =$ （）．

A、3 B、 $- 3$ C、9 D、 $- 9$

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2. 如图所示， $∠ 1$ 的度数是（）．

A、 $60 °$ B、 $70 °$ C、 $80 °$ D、 $90 °$

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3. 如图所示的是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则它的主视图是（）．

A、 B、 C、 D、

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4. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（）

A、 $0.45 \times 1 0^{10}$ B、 $4.5 \times 1 0^{10}$ C、 $4.5 \times 1 0^{9}$ D、 $4.5 \times 1 0^{8}$

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5. 如图所示，在数轴上点O为原点，将线段OA逆时针旋转，第一次与数轴相交于点 $A^{'}$ 时，点 $A^{'}$ 所表示的数是（）．

A、 $- 3$ B、 $- \sqrt{10}$ C、 $- 4$ D、 $\sqrt{10}$

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6. 端午为纪念屈原，甲乙两队参加龙舟比赛，全程2400米，甲队的速度为x米/分钟，当x满足方程 $\frac{2400}{x} = \frac{2400}{x + 5} + 16$ 时，下列对这一方程所反映的数量关系描述正确的是（）．

A、甲队的速度比乙队的速度快5米/分钟，用的时间比乙队多16分钟 B、甲队的速度比乙队的速度慢5米/分钟，用的时间比乙队少16分钟 C、乙队的速度比甲队的速度快5米/分钟，用的时间比甲队少16分钟 D、乙队的速度比甲队的速度慢5米/分钟，用的时间比甲队多16分钟

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7. 若 $x + 2 y - 4 = 0$ ，则 $4^{y} \cdot 2^{x - 2} =$ （）．

A、4 B、6 C、 $- 4$ D、8

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8. 数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式： $s^{2} = \frac{1}{5} {(1 - \bar{x})}^{2} + {(2 - \bar{x})}^{2} + {(3 - \bar{x})}^{2} + {(3 - \bar{x})}^{2} + {(6 - \bar{x})}^{2}$ ．你不能得到的有效信息是（）．

A、这组数据的中位数是3 B、这组数据的平均数是3 C、这组数据的众数是3 D、这组数据的方差是3

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9. 如图，菱形OABC的顶点A ， B ， C在 $⊙ O$ 上，过点B作 $⊙ O$ 的切线交OA的延长线于点D ．若 $⊙ O$ 的半径为2，则BD的长为（）．

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $A H ⊥ B C$ 于点H ，点P从B点出发沿BC向点C运动，设线段BP的长为x ，线段AP的长为y ，如图1所示，而y关于x的函数图象如图2所示． $Q (1, \sqrt{3})$ 是函数图象上的最低点．当 $△ A B P$ 为锐角三角形时，x的取值范围为（）．

A、 $2 < x < 4$ B、 $1 < x < 3$ C、 $1 < x < 4$ D、 $3 < x < 5$

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二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共18分）

11. 已知一个角是 $30 °$ ，则它的余角是．

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12. “如果 $a = b$ ，则 $a^{3} = b^{3}$ ”是（填写“真命题”或“假命题”）．

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13. 若一次函数 $y = (m - 2) x + 1$ 满足y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是．

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14. 某校为了解九年级学生每周课外阅读情况，随机抽取该年级50名学生进行调查，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端点但不包括右端点），则估计该年级阅读时间不少于4.7小时学生的频率为．

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15. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现．在计算 $t a n 15 °$ 时，如下图：在 $R t △ A C B$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，延长CB使 $B D = A B$ ，连接AD ，得 $∠ D = 15 °$ ，所以 $t a n 15 ° = \frac{A C}{C D} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ．类比这种方法，计算 $t a n 22.5 °$ 的值为．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 2$ ，将线段BC绕点B旋转到BD ，连接AD ， E为AD的中点，连接CE ．设CE的长度为x ，则x的取值范围是．

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三、解答题：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）

17. 计算： $| - \sqrt{3} | + {\frac{1}{2}}^{- 1} + {(π - 1)}^{0} - t a n 60 °$ ．

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18. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4} \div \frac{x^{2} - 2 x}{x + 2}$ ，其中 $x = \frac{1}{3}$ ．

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19.
已知在网格中每个小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由一条对角线和以格点为圆心，半径为2的圆弧围成的弓形．

(1)、图1中阴影部分的面积是（结果保留π）；

(2)、请你在图2中以图1为基本图案，借助轴对称，平移或旋转设计一个轴对称的花边图案（要求至少含有两种图形变换）．

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四、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）

20. 如图所示，在矩形ABCD中，E是AD边的中点， $B E ⊥ A C$ 于点F ．

(1)、求证： $△ A E F ∽ △ C A B$ ；

(2)、求 $t a n ∠ C A D$ ．

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21. 如图1，线段AE和BD相交于点C ，连接AB和DE ．四张纸牌除正面分别写着如图2所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．

(1)、若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明 $△ A B C ≌ △ D E C$ 成立的概率是；

(2)、若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明 $△ A B C ≌ △ D E C$ 成立的概率，先补全图3中的树状图，再计算．

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22. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - m x + m - 1 = 0$ ．

(1)、求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；

(2)、若该方程的两个实数根为a和b ，且满足 $a^{2} + b^{2} = 1$ ，求此时实数m的取值．

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五、解答题：（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）

23. 【教材阅读】华东师大版九年级下册第27章3．圆周角

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．

由圆周角定理，可以得到以下推论：

推论1 $90 °$ 的圆周角所对的弦是直径．（如图27.1.12）

小兰根据以上教材内容对“圆周角定理”作了如下拓展：

(1)、【拓展1】设

⊙ O

的半径为R ，如下图1所示，

△ A B C

和

△ A B D

是

⊙ O

的内接三角形，其中AD为直径，记

∠ C = α

，

A B = m

，则

s i n α =

；

(2)、【拓展2】设

⊙ O

的半径为R ，如下图2所示，

△ A B C

是

⊙ O

的内接三角形，记

∠ C = α

，

∠ B = β

，

A B = m

，

A C = n

，请证明

\frac{m}{s i n α} = \frac{n}{s i n β}

．

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24. 边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = k_{1} x$ 所在直线平分这8个正方形所组成图形的面积，交其中两个正方形的边于A、B两点，过B点的双曲线 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 的一支交其中两个正方形的边于C、D两点，连接OC、OD、CD ．

(1)、求该一次函数的解析式；

(2)、求 $△ O C D$ 的面积．

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六、解答题：（本大题共2个小题，第25小题12分，第26小题13分，共25分）

25. 综合应用：测旗杆高度
小明和小红是学校的升旗手，两人想一同测出学校旗杆的高度．为了解决这个问题，他们向数学王老师请教，王老师给他们提供了测倾器和皮尺工具．经过两人的思考，他们决定利用如下的图示进行测量．
【测量图示】
【测量方法】在阳光下，小红站在旗杆影子的顶端F处，此刻量出小红的影长FG；然后小明在旗杆落在地面的影子上的某点D处，安装测倾器CD ，测出旗杆顶端A的仰角．
【测量数据】小红影长 $F G = 2$ m，身高 $E F = 1.6$ m，旗杆顶端A的仰角为 $49 °$ ，侧倾器CD高 $0.6$ m， $D F = 6$ m，旗台高 $B P = 1.2$ m．
若已知点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG ．你能帮小明和小红两人测出旗杆AP的高度吗?（参考数据： $s i n 49 ° \approx 0.8$ ， $c o s 49 ° \approx 0.7$ ， $t a n 49 ° \approx 1.2$ ）

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26. 如图所示，图象G由图象 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 组成，其中图象 $G_{1}$ 是函数 $y_{1} = x^{2} - 2 x (x \leq 2)$ 的图象，图象 $G_{2}$ 是函数 $y_{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 (x > 0)$ 的图象．

(1)、若点 $(3, p)$ 在图象G上，求p的值；

(2)、已知直线l与x轴平行，且与图象G有三个不同的交点，从左至右依次为点A、B、C ，若 $A B = 1$ ，求点C的坐标；

(3)、当图象G上的点 $(x, y)$ 满足 $- 1 \leq y \leq 3$ 时，记此时x的取值范围为M ．设 $y_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + m x - 1$ ，若在M中总存在 $x_{0}$ ，使得 $y_{3} > 2$ ，求此时实数m的取值范围．

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