2024年广东省中考数学全真模拟试卷(五)

试卷更新日期：2024-05-30 类型：中考模拟

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 截至北京时间 $2020$ 年6月 $14$ 日 $9 : 49$ ，全球累计新冠肺炎确诊病例超过 $7730000$ 例， $7730000$ 用科学记数法可表示为（）

A、 $773 \times 1 0^{4}$ B、 $77.3 \times 1 0^{6}$ C、 $7.73 \times 1 0^{6}$ D、 $0.773 \times 1 0^{7}$

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2. 如图是一个正方体的展开图，每个面上都有一个汉字，折叠成正方体后，与“负”相对的面上的汉字是（）

A、强 B、质 C、提 D、课

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3. 一个多边形的内角和为360°，则这个多边形是（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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4. 已知直线 $m / / n$ ，将一块含 $45 °$ 角的直角三角板 $A B C$ 按如图方式放置.若 $∠ 2 = 25 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $15 °$ D、 $25 °$

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5. 已知圆锥的底面半径为 $3 c m$ ，母线长为 $5 c m$ ，则圆锥的侧面积是（）

A、 $15 π c m^{2}$ B、 $15 c m^{2}$ C、 $20 π c m^{2}$ D、 $20 c m^{2}$

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6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D ， BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（　　）

A、3 B、4 C、5 D、7

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7. 下列说法正确的是（）

A、“三角形的外角和是360°”是不可能事件 B、调查某批次汽车的抗撞击能力适合用全面调查 C、了解北京冬奥会的收视率适合用抽样调查 D、从全校1500名学生中抽取100名调查了解寒假阅读情况，抽取的样本容量为1500

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8. 如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB ， AC分别交于E ， F两点，求 $\hat{E F}$ 的长为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} π$ D、 $3 \sqrt{3} π$

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9. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 8$ ，点 $E$ 在 $B C$ 边上，连接 $E A$ ， $E A = E C$ ．将线段 $E A$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ，点 $E$ 的对应点为点 $F$ ，连接 $C F$ ，则 $c o s ∠ A C F$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

10. 因式分解： $b^{2} - 2 b =$ ．

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11. 二次项系数为 $2$ ，且两根分别为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = \frac{1}{2}$ 的一元二次方程为．（写成 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的形式）

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12. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打折．

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13. 小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为．

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14. 如图所示，在平行四边形 $A B C D$ 中， $B C = 8$ ， $A B = 5$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，则 $D E =$ .

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三、解答题(一)：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．

15.

(1)、解方程： $\frac{1}{2} x^{2} - 7 x + 24 = 0$ ；

(2)、若 $▱ A B C D$ 的两条对角线长恰好是（1）中方程的两个解，求该平行四边形 $A B$ 边的取值范围．

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16. 抛物线顶点坐标是 $(2, - 1)$ 且经过点 $C (5,8)$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、求该抛物线与坐标轴的交点坐标．

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17. 【实践探究】新华学校开设“木工、烹饪、种植、茶艺、布艺”五门特色劳动校本课程。学校要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证课程的有效实施，学校随机对抽取了500名学生选择课程情况调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
【问题解决】请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、补全条形统计图，并在扇形统计图中，求出“种植”所对应的圆心角为多少度；

(2)、若该校有1800名学生，请估计该校选择劳动课程为布艺的有多少人；

(3)、在劳动课程中表现优异的小明和小华被选中与其他学生一起参加劳动技能展示表演，展示表演分为3个小组，他们俩若随机分到这三个小组中，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华两人恰好分在同一组的概率．

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四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 12, A B = 6$ ．

(1)、用尺规作图法作 $∠ A D C$ 的平分线 $D N$ ，交 $B C$ 于点 $M$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $N$ ．（标明字母，保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、在（1）的条件下，求 $B N$ 的长．

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19. 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．

(1)、求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；

(2)、若需购买A ， B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？

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20. 综合与实践：
主题：制作一个无盖长方形盒子.
步骤1：按照如图所示的方式，将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形.
步骤2：沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子.

(1)、【问题分析】
如果原正方形纸片的边长为 $a$ ，剪去的正方形的边长为 $b$ ，则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别为、、(请你用含a，b的代数式来表示).

(2)、如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取 $1 c m ， 2 c m ， 3 c m$ ， $4 c m ， 5 c m ， 6 c m ， 7 c m ， 8 c m ， 9 c m ， 10 c m$ 时，折成的无盖长方体的容积分别是下表数据，请求出 $m$ 和 $n$ 分别是多少?
剪去正方形的边长 $/ c m$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
容积 $/ c m^{3}$
324
512
m
n
500
384
252
128
36
0

(3)、【实践分析】
观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化?并分析猜想当剪去图形的边长为多少时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是多少?

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五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．

21. 如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆AB的中点，点D是⊙O上一点，连接CD交AB于E，点F是AB延长线上一点，且EF＝DF．

(1)、求证：DF是⊙O的切线；

(2)、连接BC、BD、AD，若tanC＝ $\frac{1}{2}$ ， DF＝3，求⊙O的半径．

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22. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且使得AB = 4，OB = 3．

(1)、试判断△AOB的形状，并说明理由；

(2)、在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC = BD．求AC + OD的最小值．

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剪去正方形的边长 $/ c m$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
容积 $/ c m^{3}$	324	512	m	n	500	384	252	128	36	0