2024年广东省中考数学全真模拟试卷(二)

试卷更新日期：2024-05-30 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{25} = \pm 5$ B、 $- | - 3 | = 3$ C、 $\sqrt{27} = 3$ D、 $- 3^{2} = - 9$

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2. 我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 一个多边形的内角和为360°，则这个多边形是（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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4. 如果一个等腰三角形的顶角为 $36 °$ ，那么可求其底边与腰之比等于 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形 $.$ 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 1$ ， $∠ A = 36 °$ ， $△ A B C$ 看作第一个黄金三角形；作 $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ， $△ B C D$ 看作第二个黄金三角形；作 $∠ B C D$ 的平分线 $C E$ ，交 $B D$ 于点 $E$ ， $△ C D E$ 看作第三个黄金三角形 $\dots \dots$ 以此类推，第 $2024$ 个黄金三角形的腰长是（）

A、 $(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})^{2023}$ B、 $(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})^{2024}$ C、 $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^{2023}$ D、 $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^{2024}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

5. 因式分解： $3 a^{2} - 3 =$ .

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (x + 1) < 3 x - 6 \\ x < 4 m \end{array}$ 无解，则m的取值范围是．

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7. 如图，三角形纸片中， $A B = A C$ ， $B C = 18$ ， $∠ C = 30 °$ ，折叠这个三角形，使点B落在 $A C$ 的中点D处，折痕为 $E F$ ，那么 $B F$ 的长为．

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三、解答题(一)：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．

8.

(1)、计算： $\sqrt[3]{8} + | - 5 | + (- 1)^{2023}$ ；

(2)、已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $(0 ， 1)$ 与点 $(2 ， 5)$ ，求该一次函数的表达式．

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9. 如图所示，在正方形 $A B C D$ 内有一点 $P$ ，且 $P A = 3$ ， $P B = 2$ ， $P C = 1$ .将线段BP绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B P^{'}$ ，连接 $A P^{'}$ 、 $P P^{'}$ .

(1)、求证： $△ P B C ≌ △ P^{'} B A$ ；

(2)、求 $∠ B P C$ 的度数.

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10. 某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．

(1)、求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

(2)、设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

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四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

11. （综合与实践）下图是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，回答下列问题.（要求：作图只用无刻度的直尺）

(1)、作 $∠ A O B$ ，使得 $c o s ∠ A O B = \frac{3}{5}$ ；

(2)、作出 $∠ A O B$ 的角平分线 $O C$ ，并简要说明点 $C$ 的位置是如何找到的（不用证明）.

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12. 如图，在并联电路中，电源电压为U_总＝6V，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：I_总＝I₁+I₂（I₁＝ $\frac{6}{R_{1}}$ ， I₂＝ $\frac{6}{R}$ ）．已知R₁为定值电阻，当R变时，路电流I_总也会发生变化，且干路电流I_总与R之间满足如下关系：I_总＝1+ $\frac{6}{R}$ ．

(1)、【问题理解】
定值电阻R₁的阻值为 Ω．

(2)、【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I₂＝ $\frac{6}{R}$ 来探究函数I_总＝1+ $\frac{6}{R}$ 的图象与性质．
①列表：下表列出I_总与R的几组对应值，请写出m的值：m＝ ▲ ．
R
…
3
4
5
6
…
I₂＝ $\frac{6}{R}$
…
2
1.5
1.2
1
…
I_总＝1+ $\frac{6}{R}$
…
3
m
2.2
2
…
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I_总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．

(3)、【数学思考】
观察图象发现：函数I_总＝1+ $\frac{6}{R}$ 的图象是由I₂＝ $\frac{6}{R}$ 的图象向平移个单位而得到．

(4)、【数学应用】
若关于x的方程|1+ $\frac{6}{x}$ |=kx+6在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．

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五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．

13. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C ， AC与BD交于点H ，与OE交于点F ．

(1)、求证：AE是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径10， $t a n C = \frac{3}{4}$ ，求线段DH的长．

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14. 【课本再现】

(1)、正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ 与正方形 $A B C D$ 的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形 $A B C D$ 的面积的比值是 $\frac{1}{4}$ ；在正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ 绕点 $O$ 旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由．

(2)、【拓展延伸】如图3，在正方形 $A B C D$ 中， $∠ E P F$ 的顶点 $P$ 在对角线 $A C$ 上，且 $∠ E P F = 90 °$ ， $A P ： P C = 1 ： 2$ ，将 $∠ E P F$ 绕点 $P$ 旋转，旋转过程中， $∠ E P F$ 的两边分别与 $A B$ 边和 $B C$ 边交于点 $E$ ， $F$ ．
①在 $∠ E P F$ 的旋转过程中，试探究 $P E$ 与 $P F$ 的数量关系，并说明理由；

②若 $A C = 12$ ，当点 $F$ 与点 $B$ 重合时，求 $A E$ 的长．

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R	…	3	4	5	6	…
I₂＝ $\frac{6}{R}$	…	2	1.5	1.2	1	…
I_总＝1+ $\frac{6}{R}$	…	3	m	2.2	2	…