广东省惠州市惠城区2024年中考数学一模考试试卷

试卷更新日期：2024-05-29 类型：中考模拟

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 3的倒数为（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、－3

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2. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 计算 $a^{2} \cdot a^{4}$ 的结果是（）

A、 $a^{2}$ B、 $a^{8}$ C、 $a^{4}$ D、 $a^{6}$

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4. 三角形在方格纸中的位置如题4图所示，则tanα的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 某商场为吸引顾客，设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获得奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{10}$

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6. 2023年12月11日，国家重大科技基础设施高能同步辐射光源（HEPS）加速器储存环最后一台磁铁安装就位，HEPS储存环是世界上第三大光源加速器，其发射度小于0.06纳米（nm）•弧度．已知 $1 n m = 1 \times 1 0^{- 9} m$ ．将0.06nm用科学记数法表示应为（）

A、 $0.6 \times 1 0^{- 10} m$ B、 $6 \times 1 0^{- 11} m$ C、 $60 \times 1 0^{- 10} m$ D、 $0.06 \times 1 0^{- 9} m$

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7. 如图所示，已知 $A B ∥ C D$ ， $∠ A = 37 °$ ， $∠ C = 63 °$ ，那么 $∠ F$ 的度数为（）

A、63° B、45° C、37° D、26°

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8. 若一个等腰三角形的两边长分别为4和7，则这个三角形的周长为（）

A、15 B、12或21 C、15或18 D、21

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9. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{400}{x} - \frac{450}{x - 50} = 1$ B、 $\frac{450}{x - 50} - \frac{400}{x} = 1$ C、 $\frac{400}{x} - \frac{450}{x + 1} = 50$ D、 $\frac{450}{x + 1} - \frac{400}{x} = 5$

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10. 如图所示，抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{6} (x - 2) (x + 6)$ 经过矩形ABCD的三个顶点A ， B ， D，则点C的坐标为（）

A、 $(- 6, - 2 \sqrt{3})$ B、 $(- 4, 2 \sqrt{3})$ C、 $(- 4, - 2 \sqrt{3})$ D、 $(6, 2 \sqrt{3})$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分

11. 因式分解： $a^{2} + 4 a + 4 =$ ．

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12. 计算： $\sqrt{18} - \sqrt{8} =$ .

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13. 已知点 $P (2, - 3)$ 关于x轴的对称点为 $Q (a, b)$ ，则 $a - b =$ ．

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14. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + x + m = 0$ 没有实数根，则m的取值范围是．

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15. 如图所示，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $∠ A = 60 °$ ，将线段CB绕点C顺时针旋转90°后得到CE ，点B经过的路径为 $\overset{⌢}{B E}$ ，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为 $\overset{⌢}{B F}$ ，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）

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三、解答题（一）：本大题共5小题，每小题5分，共25分

16. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x + 3 > 8, \\ \frac{x + 1}{4} - 3 < 1 . \end{array}$

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17. 计算： $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} \div \frac{x + 1}{x^{3} - x^{2}}$ ．

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18. 如图所示，在菱形ABCD中，过点C分别作边AB ， AD上的高CE ， CF ，求证： $B E = D F$ ．

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19. 某种植户到农贸市场购买甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．

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20. 如题20图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、实践与操作：在边BC上求作一点P ，使 $P A = P B$ （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、应用与计算：连接AP ，若 $A C = 4$ ， $B C = 8$ ，试求线段PA的长．

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四、解答题（二）：本大题共3小题，第21，22题各8分，第23题10分，共26分．

21. 综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为 $D_{1}$ ， $D_{2}$ ；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在 $D_{1}$ 处用①号“E”测得的视力与在 $D_{2}$ 处用②号“E”测得的视力相同．

(1)、探究：①如1图， $\frac{b_{1}}{l_{1}}$ 与 $\frac{b_{2}}{l_{2}}$ 之间存在什么关系?请说明理由；
②由标准视力表中的 $b_{1} = 72 m m$ ， $l_{1} = 5 m$ ，可计算出 $l_{2} = 3 m$ 时， $b_{2} =$ mm；

(2)、运用：如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O ， ①号“E”与②号“E”的相似比为 $2 : 1$ ，点P与点Q为一组对应点．
若点Q的坐标为 $(- 3, 4)$ ，则点P的坐标为．

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22. 如图所示， $△ A B C$ 内接于⊙O ， AC（不是直径）与OB相交于点D ，且 $A D = C D$ ，过点A作⊙O的切线，交OB的延长线于点E ．

(1)、求证：AB平分 $∠ D A E$ ；

(2)、若 $B D = 3$ ， $A D = 6$ ，求AE的长．

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23. 2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，其中大型语言模型是最近的热门话题．某实践小组开展了对A ， B两款AI聊天机器人的使用满意度调查，
并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意： $x < 70$ ，比较满意： $70 \leq x < 80$ ，满意： $80 \leq x < 90$ ，非常满意： $x \geq 90$ ）．下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所点百分比
A
88
b
96
45%
B
88
87.5
c
40%
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中， $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱?请说明理由（写出一条理由即可）；

(3)、在此次调查中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分，160人对B款AI聊天机器人进行
评分，估计此次调查中对AI聊天机器人“不满意”的共有多少人．

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五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．

24. 如图所示，抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (- 1, 0)$ 与点B ，与y轴交于点 $C (0, 2)$ ，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴．

(1)、求抛物线和直线BC的表达式，并求出点D的坐标；

(2)、如图所示，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，连接OM ，交BC于点H ，过点M作x轴的平行线，交直线BC于点G ，设点M的横坐标为m ．
①求用含m的代数式表示线段MG的长；
②求 $\frac{M H}{O H}$ 的最大值．

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25. 综合探究
【初步探究】如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B ， C重合）， $B F ⊥ A E$ 于点G ，交对角线AC于点H ，交CD于点F ．为了探究HC与BE之间的数量关系，在如图2中，作 $∠ B E M = 45 °$ ， EM交AB的延长线于点M ．

(1)、如图2，①求证： $△ B H C ∽ △ A E M$ ；②当 $A B = 4 \sqrt{2}$ ， $B E = \sqrt{2}$ 时，求证： $\frac{C H}{B E} = \frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ；

(2)、【类比迁移】如图3，在矩形ABCD中， $A B = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $B E = \frac{1}{4} B C$ ， $B F ⊥ A E$ 于点G ，交AC于点H ，交CD于点F ．求 $\frac{C H}{B E}$ 的值；

(3)、【拓展应用】如图4，在等边三角形ABC中， $A D ⊥ B C$ ， E是DC的中点， $D F ⊥ A E$ ，交AE于点G ，交AC于点F ．请直接写出 $\frac{F C}{D E}$ 的值．

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设备	平均数	中位数	众数	“非常满意”所点百分比
A	88	b	96	45%
B	88	87.5	c	40%