2024年广东省深圳市中考数学全真模拟试卷(七)

试卷更新日期：2024-05-28 类型：中考模拟

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一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，每题有4个选项，只有一个选项正确)

1. 给出四个数： $- \frac{2}{3}, 0, \sqrt{9}, π$ ，其中为无理数的是（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、0 C、 $\sqrt{9}$ D、 $π$

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2. 下列变形正确的是（）

A、若 $3 x - 1 = 2 x + 1$ ，则 $3 x + 2 x = 1 + 1$ B、若 $3 (x + 1) - 5 (1 - x) = 0$ ，则 $3 x + 3 - 5 - 5 x = 0$ C、若 $1 - \frac{3 x - 1}{2} = x$ ，则 $2 - 3 x - 1 = x$ D、若 $\frac{x + 1}{0.2} - \frac{x}{0.3} = 10$ ，则 $\frac{x + 1}{2} - \frac{x}{3} = 1$

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3. 佛山是国内首个被授予“中国龙舟龙狮运动名城”称号的城市，“争先奋进，赛龙夺锦”的龙舟文化内核近年来成了佛山文化品牌形象和城市精神内涵的重要元素．已知2023年2月佛山某区龙舟赛的总赛程为 $20 k m$ ，在同一场比赛中龙舟A队的平均速度是B队的1.2倍，最终A队冲刺终点的时间比B队提前20分钟，若设B队的平均速度是 $x k m / h$ ，则可列方程为（）

A、 $\frac{20}{1.2 x} - \frac{20}{x} = \frac{1}{3}$ B、 $\frac{20}{x} - \frac{20}{1.2 x} = 20$ C、 $\frac{20}{1.2 x} - \frac{20}{x} = 20$ D、 $\frac{20}{x} - \frac{20}{1.2 x} = \frac{1}{3}$

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4. 若二次根式 $\sqrt{2 - m}$ 有意义，且关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{1 - x} + 2 = \frac{3}{x - 1}$ 有正数解，则符合条件的整数 $m$ 的和是（）

A、 $- 7$ B、 $- 6$ C、 $- 5$ D、 $- 4$

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5. 下列说法错误的是（）

A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ A B D$ 的角平分线交 $A D$ 于点 $E$ ，若 $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $B E =$ （）

A、6 B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，过点 $O$ 作 $O E ⊥ A C$ ，交 $A D$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B D$ ，垂足为 $F$ ，则 $O E + E F$ 的值为（）

A、 $\frac{48}{5}$ B、 $\frac{32}{5}$ C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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8. 边长为2的等边三角形 $△ A B C$ 中， $A H ⊥ B C$ 于H，E为线段 $B H$ 上一动点，连接 $A E$ ． $C D ⊥ A E$ 于点F，分别交 $A B ， A H$ 于点D，G．①当E为 $B H$ 中点时， $A D = A G$ ；② $∠ E F H = 60 °$ ；③点E从点B运动到点H，点F经过路径长为1；④ $B F$ 的最小值 $\sqrt{3} - 1$ ．正确结论是（）

A、②③ B、②④ C、①②④ D、①③④

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二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)

9. 已知a ， b满足方程组 ${\begin{matrix} 2 a - b = - 3 \\ a + 2 b = 6 \end{matrix}$ ，则3a＋b 的值为；

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10. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S_△OBD＝ $\frac{7}{2}$ ，则k的值为．

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11. 如图，点A，C为函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 图象上的两点，过A，C分别作 $A B ⊥ x$ 轴， $C D ⊥ x$ 轴，垂足分别为B，D，连接 $O A$ ， $A C$ ， $O C$ ，线段 $O C$ 交 $A B$ 于点E，且点E恰好为 $O C$ 的中点．当 $△ A E C$ 的面积为 $\frac{3}{4}$ 时，k的值为．

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三、解答题(本题共7小题，共55分)

12. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a + b} \div (\frac{1}{b} + \frac{1}{a})$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1 ， b = \sqrt{2} - 1$ ．

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13. 我县组织开展研学活动，共有月岩，陈树湘烈士纪念馆，濂溪故里，葫芦岩红军渡4个地点可供选择，让同学们投票决定最终研学地点，现将同学们的投票结果制成如下统计图（其中A：月岩，B：陈树湘烈士纪念馆，C：濂溪故里，D：葫芦岩红军渡），根据相关信息，回答下列问题：

(1)、本次抽样的样本容量为，请补全条形统计图；

(2)、扇形统计图中a的值为，圆心角β的度数为；

(3)、若我县有5000名同学参加研学活动，试估计去月岩的有多少?

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14. 如图在平面直角坐标系中，已知 $△ A B O$ 的顶点坐标分别是 $A (3 ， 3) ， B (- 2 ， 2) ， O$ $(0 ， 0)$ .

(1)、画出 $△ A O B$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ C O D$ ，其中点 $A$ 的对应点是点 $C$ ，点 $B$ 的对应点是点 $D$ ，并请直接写出点 $C$ 的坐标为，点 $D$ 的坐标为 .

(2)、请直接写出 $△ C O D$ 的面积是.

(3)、已知点 $E$ 到两坐标轴距离相等，若 $S_{△ A O B} = 3 S_{△ B O E}$ ，则请直接写出点 $E$ 的坐标为.

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15. 某校推行“新时代好少年·红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资10000元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了 $10 %$ ，实际总投资为15400元，并比原计划多建设了2间党史“读书吧”．原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？

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16. 数形结合是解决数学问题的重要方法 $.$ 小明同学学习二次函数后，对函数 $y = - (| x | - 1)^{2}$ 进行了探究 $.$ 在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象 $.$ 请根据函数图象，回答下列问题：

(1)、【观察探究】：
方程 $- (| x | - 1)^{2} = - 1$ 的解为：；

(2)、【问题解决】：
若方程 $- (| x | - 1)^{2} = a$ 有四个实数根，分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ ．
① $a$ 的取值范围是；
②计算 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} =$ ；

(3)、【拓展延伸】：
①将函数 $y = - (| x | - 1)^{2}$ 的图象经过怎样的平移可得到函数 $y_{1} = - (| x - 2 | - 1)^{2} + 3$ 的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；
②观察平移后的图象，当 $2 \leq y_{1} \leq 3$ 时，直接写出自变量 $x$ 的取值范围 ▲ ．

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17.

(1)、【问题初探】如图1，等腰 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D为 $A B$ 边一点，以 $B D$ 为腰向下作等腰 $R t △ B D E$ ， $∠ D B E = 90 °$ ．连接 $C D$ ， $C E$ ，点F为 $C D$ 的中点，连接 $A F$ ．猜想并证明线段 $A F$ 与 $C E$ 的数量关系和位置关系．

(2)、【深入探究】
在（1）的条件下，如图2，将等腰 $R t △ B D E$ 绕点B旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(3)、【拓展迁移】
如图3，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ．在 $R t △ B D E$ 中， $∠ D B E = 90 °$ ， $∠ B D E = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ．连接 $C D$ ， $C E$ ，点FB为 $C D$ 的中点，连接 $A F$ ． $R t △ B D E$ 绕点B旋转过程中，
①线段 $A F$ 与 $C E$ 的数量关系为：；
②若 $B C = 4 \sqrt{13}$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ，当点F在等腰 $△ A B C$ 内部且 $∠ B C F$ 的度数最大时，线段 $A F$ 的长度为．

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