浙江省初中名校发展共同体期中联考2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-05 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）

1. 观察下列四幅图案，通过平移可以得到左图的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列方程属于二元一次方程的是（）

A、 $x + 2 y = 1$ B、 $x y = 3$ C、 $x - 2 x = 1$ D、 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$

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3. 如图，直线b、c被直线a所截，则 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 是（）

A、同位角 B、内错角 C、同旁内角 D、对顶角

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4. 监测数据显示：2024年春节期间全国乙型流感处于高位水平．乙流病毒直径大小在 $80 - 100$ 微米，1微米 $= 0.000001$ 米.80微米用科学记数法可表示为（）

A、 $80 \times 1 0^{- 6}$ 米 B、 $0.8 \times 1 0^{- 5}$ 米 C、 $8 \times 1 0^{- 6}$ 米 D、 $8 \times 1 0^{- 5}$ 米

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $(- 2 a b)^{3} = 8 a^{3} b^{3}$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}$ C、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$

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6. 把一副三角板摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，已知 $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $∠ D = ∠ E = 45 °$ ，若 $B C ∥ D E$ ，则 $∠ A C D$ 的度数是（）

A、 $100 °$ B、 $120 °$ C、 $135 °$ D、 $150 °$

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7. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少?设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{cases} 5 x + 6 y = 1 \\ 5 x - y = 6 y - x \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 6 x + 5 y = 1 \\ 5 x + y = 6 y + x \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 5 x + 6 y = 1 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 6 x + 5 y = 1 \\ 4 x - y = 5 y - x \end{cases}$

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8. 给出下面四个多项式：① $x^{2} - x y$ ；② $x^{2} - y^{2}$ ；③ $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ ；④ $x^{2} + y^{2}$ ，其中含因式 $(x - y)$ 的多项式有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，线段 $A B = 3, P$ 为 $A B$ 上一点，分别以 $A P, B P$ 为边作正方形，且这两个正方形的边长互为倒数，则这两个正方形的面积之和为（）

A、7 B、8 C、9 D、11

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10. 已知关于x ， y的方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - 4 y = 2 a - 3 \\ - 2 x + 3 y = 1 - a \end{array}$ ， a为常数，下列结论：①若 $a = 1$ ，则方程组的解x与y互为相反数；②若方程组的解也是方程 $y = x$ 的解，则 $a = 1$ ；③方程组的解可能是 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \end{array}$ ；④无论a为何值，代数式 $x - 2 y$ 的值为定值．其中正确的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

11. 计算： $2 x (x - \frac{1}{2}) =$ ．

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12. 已知二元一次方程 $x - 3 y = 4$ ．用关于x的代数式表示y ，则 $y =$ ．

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13. 已知多项式 $x^{2} + m x + 5 = (x + p) (x + q), p, q$ 为整数，则m的值为．

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14. 如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，设 $∠ 1 = x °$ ，则 $∠ 2 =$ $°$ ．（含x的代数式表示）

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15. 若 $3^{x} = 2, 9^{y} = 6$ ，则 $x - 2 y =$ ．

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16. 如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且 $a > b$ ，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形 $A B C D$ 内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ．
（1）当 $a = 8, b = 2, A D = 20$ 时， $S_{2} - S_{1}$ 的值为；
（2）若 $A B$ 长度保持不变， $A D$ 变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形 $A B C D$ 内，当 $2 S_{2} - 3 S_{1}$ 的值与 $A D$ 的长度无关时，a、b满足的关系式是．

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三、解答题（第17~19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各10分，第24题12分，共66分）

17. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y = 5 \\ \frac{1}{3} x - y = 1 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} x - y = 3 (x + y) \\ 2 (x - y) + x + y = 7 \end{array}$

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18. 计算：

(1)、 ${(\frac{1}{2})}^{- 2} - (- 1)^{3} - (π - 2024)^{0}$

(2)、 $- (- a)^{2} + (2 - a) (3 + a)$

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19. 分解因式：

(1)、 $2 m^{2} - 8$

(2)、 $4 x^{2} - 8 x + 4$

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20. 先化简，再求值：
$(x + 2 y) (x - 2 y) + (x - 2 y)^{2} - (3 x^{2} y - 6 x y^{2}) \div (3 y)$ ，其中 $x = - 2, y = \frac{1}{2}$ ．

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21. 如图， $B O$ 平分 $∠ A B C, C O$ 平分 $∠ B C D, ∠ O B C + ∠ O C B = 90 °$ ．

(1)、请判断 $A B$ 与 $C D$ 是否平行，并说明理由．

(2)、若 $∠ D C E = \frac{1}{2} ∠ D C G, ∠ A B O = 55 °$ ，求 $∠ E C G$ 的度数．

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22. 对于任意有理数a，b，c，d，我们规定符号 $(a, b) \otimes (c, d) = a d + b c$ ．例如： $(2, 3) \otimes (1, - 4) = 2 \times (- 4) + 3 \times 1 = - 5$ ．

(1)、求 $(- 2, 1) \otimes (- 4, - 5)$ 的值；

(2)、求 $(2 a, a - 2) \otimes (a + 2, a - 3)$ 的值，其中 $a^{2} - 2 a + 1 = 0$ ．

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23. 在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式 $x^{2} + 2 x + 5$ 有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下：
$x^{2} + 2 x + 5$
$= x^{2} + 2 x + 1 + 4$
$= {(x + 1)}^{2} + 4$
$∵ {(x + 1)}^{2} \geq 0$
$∴ {(x + 1)}^{2} + 4 \geq 4$
$∴ x^{2} + 2 x + 5$ 的最小值为4
小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题：

(1)、下列多项式中① $x^{2} + 2 x - 1$ ；② $x^{2} - 6 x + 9$ ；③ $x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}$ ；④ $4 y^{2} - 12 x y + 9 x^{2}$ 是完全平方式的有_________．（请填写序号）

(2)、若 $9 x^{2} + k x + 16$ 是一个完全平方式，则k的值等于_________（k为常数）．

(3)、代数式 $- 2 x^{2} + 4 x - 3$ 有最大值还是最小值？并求出这个最值．

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24. 根据以下素材，探索解决任务．

文创店礼品采购方案的设计
素材1	某文创店采购A，B两种文创礼品共200件．
素材2	A礼品的批发价为65元/件，零售价为80元/件； B礼品的批发价为78元/件，零售价为88元/件．
问题解决
任务1	若批发A，B两种礼品各100件，且全部售完，共可获利_________元．
任务2	若这200件礼品全部售完且总利润为2400元，求采购A，B礼品各多少件．
任务3	该商店预留10件礼品用于公益活动，其余全部售完且共获利2000元，请确定预留A，B礼品的件数及相应的采购方案．

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