2024年广东省深圳市中考数学全真模拟试卷(五)

试卷更新日期：2024-05-28 类型：中考模拟

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一、选择题(本大题共10题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个选项正确)

1. 下列各数中，最大的是（）

A、-3 B、0 C、2 D、|-1|

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2. 为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（）

A、此次调查属于全面调查 B、样本容量是300 C、2000名学生是总体 D、被抽取的每一名学生称为个体

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3. 已知关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - m > 0 \\ x - 1 \leq 5 \end{array}$ 有四个整数解，则m的取值范围是（）

A、 $6 \leq m < 9$ B、 $6 < m \leq 9$ C、 $6 < m < 9$ D、 $6 \leq m \leq 9$

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4. 古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉 $x$ 元，每斤鱼 $y$ 元，可列方程组为( )

A、 $\{\begin{array}{l} 10 x + 3 y = 77 \\ 9 x = 5 y \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 3 x + 10 y = 77 ， \\ 9 x = 5 y \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 10 x + 3 y = 77 \\ 5 x = 9 y \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 3 x + 10 y = 77 ， \\ 5 x = 9 y \end{array}$

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5. 如图，将一个 $R t △ A B C$ 形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为 $10 °$ ，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（）

A、 $5 s i n 10 °$ 厘米 B、 $5 c o s 10 °$ 厘米 C、 $5 t a n 10 °$ 厘米 D、 $\frac{5}{t a n 10 °}$ 厘米

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6. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2}{3} π - \sqrt{3}$ C、 $\frac{4}{3} π - 2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3} π - \sqrt{3}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点E ， $A D$ ， $C E$ 交于点F ．则下列说法正确的有（）
① $∠ A F C = 120 °$ ；② $△ A E F ≌ △ C D F$ ；③若 $A B = 2 A E$ ，则 $C E ⊥ A B$ ；④ $C D + A E = A C$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题(本题共5题，每题3分，共15分)

8. 因式分解： $2 a^{2} - 18 =$ ．

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9. $x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 的两根分别为 $m$ 、 $n$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ．

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10. “孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，若孔子和学生们同时到达书院，设学生们步行的速度为每小时 $x$ 公里，则可列方程.

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11. 如图，已知点 $A (1 ， m)$ 点 $B (n ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的函数图象上， $∠ A O B = 45 °$ ，则 $k$ 的值为．

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12. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，边AC的垂直平分线DE交BC于点D ，交AC于点E ， BF⊥AC于点F ，连接AD交BF于点G ．若BC＝6， $\frac{G F}{B G} = \frac{1}{8}$ ，则DE的长为．
，

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三、解答题(本题共7题，其中第16题6分，第17题7分，第18题8分，第19题7分，第20题8分，第21题9分，第22题10分)

13. 计算： $\sqrt{{(- 2)}^{2}} + \sqrt[3]{- 8} - {(- 1)}^{2023} - |\sqrt{5} - 3| - \sqrt{5}$

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14. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a + b} \div (\frac{1}{b} + \frac{1}{a})$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1 ， b = \sqrt{2} - 1$ ．

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15. 某校加强了1分钟定时跳绳的训练后，抽样调查部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形图（如图）．根据图中提供的信息解决下列问题：
A： $80 \leq x < 100$
B： $100 \leq x < 120$
C： $120 ≤ x < 140$
D： $140 ≤ x < 160$
E： $160 ≤ x < 180$

(1)、抽样的人数是人，扇形中 $m =$ ；

(2)、抽样中D组人数是 ▲ 人，本次抽取的部分学生“1分钟跳绳”成绩组成的一组数据的中位数落在 ▲ 组（填 $A 、 B 、 C 、 D 、 E$ ），并补全频数分布直方图；

(3)、如果“1分钟跳绳”成绩大于等于160次为满分，那么该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约有多少人？

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ A = 15 °$ ．

(1)、实践与操作：用尺规作图法作线段 $A C$ 的垂直平分线，交 $A B$ 于点D ，交 $A C$ 于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；

(2)、应用与计算：在（1）的条件下，连接 $D C$ ，若 $B C = 3$ ，求 $A B$ 的长．

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17. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计喷泉安全通道？在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．
素材1	图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
素材2	图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为 $O M = 4 m$ ，水柱最高点离地面 $3 m$ ．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图． $O A$ 为喷水管， $B$ 为水的落地点，记 $O B$ 长度为喷泉跨度．
素材3	安全通道 $C D$ 在线段 $O B$ 上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入 $C D$ 上方的矩形区域，则称这个矩形区域 $C D E F$ 为安全区域．
问题解决
任务1	确定喷泉形状．	在图2中，以 $O$ 为原点， $O M$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式．
任务2	确定喷泉跨度的最小值．	若喷水管 $O A$ 最高可伸长到 $2.25 m$ ，求出喷泉跨度 $O B$ 的最小值．
任务3	设计通道位置及儿童的身高上限．	现在需要一条宽为 $2 m$ 的安全通道 $C D$ ，为了确保进入安全通道 $C D$ 上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人的最大身高为多少？（精确到 $0.1 m$ ）

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18. 在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是对角线 $A C$ 上的一点，且 $A E = \frac{1}{n} A C (n > 2)$ ，将线段 $A E$ 绕着点 $E$ 顺时针旋转至 $E F$ ，记旋转角为 $α (0 < α \leq 180 °)$ ，连接 $A F$ 、 $C F$ ，并以 $C F$ 为斜边在其上方作 $△ C F G ∽ △ C A D$ ，连接 $D G$ ．

(1)、特例探究：如图1，当 $n = 3$ ， $α = 180 °$ 时，线段 $A F$ 与 $D G$ 的数量关系为；

(2)、问题探究：如图2所示，在旋转的过程中，
①（1）中的结论是否依然成立，若成立，请说明理由；
②当 $n = \frac{8}{3}$ ， $∠ E F C = 90 °$ 时，若 $A B = 4 \sqrt{2}$ ，求 $D G$ 的长度；

(3)、拓展提升：若正方形 $A B C D$ 改为矩形 $A B C D$ ，且 $\frac{A B}{A D} = \frac{1}{2}$ ，其它条件不变，在旋转的过程中，当 $A$ 、 $F$ 、 $G$ 三点共线时，如图3所示，若 $n = 4$ ， $C G = m$ ，直接写出 $D G$ 的长度．（用含 $m$ 的式子表示）

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