广东省惠州市龙门县2023-2024学年七年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-05-27 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 27的立方根是（）

A、3 B、 $\pm 3$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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2. 实数 $- 24$ 的倒数是（）

A、 $- \frac{1}{24}$ B、24 C、 $\frac{1}{24}$ D、 $- 24$

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3. 如图所示，某同学的家在 $P$ 处，他想尽快赶到附近 $C$ 处搭顺风车．他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是（）

A、两点确定一条直线 B、两点之间，线段最短 C、垂线段最短 D、经过一点有无数条直线

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4. 如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B ，则（）

A、乙比甲先到 B、甲比乙先到 C、甲和乙同时到 D、无法确定

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5. 平方根等于它本身的数是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $\pm 1$

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6. 将一副三角板按如图所示的方式放置，60°和45°两个角的顶点重合，等腰直角三角板的斜边与另一个三角板的较长直角边平行，且直角顶点在较长直角边上，则图中 $∠ 1 =$ （）

A、45° B、60° C、75° D、90°

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7. 如图小手盖住的点的坐标可能是（）

A、 $(5, 2)$ B、 $(- 6, 3)$ C、 $(3, - 4)$ D、 $(- 4, - 6)$

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8. 已知2条直线最多有 $\frac{2 (2 - 1)}{2} = 1$ 个交点，3条直线最多有 $\frac{3 (3 - 1)}{2} = 3$ 个交点，4条直线最多有 $\frac{4 (4 - 1)}{2} = 6$ 个交点，…由此猜想，8条直线最多有个交点（）

A、16 B、28 C、32 D、40

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9. 下列说法正确的是（）

A、对顶角相等，相等的角是对顶角 B、从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 C、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D、任何一个锐角的余角比它的补角小90°

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10. 如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判定的是AB∥CD的是（）

A、 $∠ 2 = ∠ 4$ B、 $∠ B = ∠ 5$ C、 $∠ 1 = ∠ 3$ D、 $∠ D + ∠ D A B = 180 °$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11. 如图，与∠1是同位角的是．

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12. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是命题.（填“真”或“假”）

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13. 在实数 $\sqrt{2}$ ， $- 1$ ， 0， $\sqrt{5}$ ， $π$ 中，最大的无理数是．

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14. 点 $M (- 2, 3)$ 到x轴的距离是．

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15. 如图，将 $R t △ A B C$ 沿着点B到C的方向平移到 $△ D E F$ 的位置． $A B = 12$ ， $D O = 4$ ，平移距离为8，则阴影部分面积为．

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三、解答题（一）（共3小题，第16题10分，每小题5分，第17、18题各7分，共24分）

16.

(1)、计算： $\sqrt[3]{8} + | - 5 | + (- 1)^{2023}$ ．

(2)、若 $5 a + 1$ 和 $a - 19$ 是数 $m$ 的两个不同的平方根，求 $m$ 的值．

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17. 已知点 $P (m, 2 m - 3)$ 是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出P点的坐标．

(1)、若点P在y轴上，则点P的坐标为．

(2)、若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为．

(3)、若点P在一、三象限角平分线所在直线上，则点P的坐标为．

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18. 完成下面的证明．
如图，已知 $E C / / B F$ ， $∠ B = ∠ C$ ，求证： $A B / / C D$ ．
证明： $∵ E C / / B F$
$∴ ∠ C = ∠ B F D$ （ ▲ ）
又 $∠ B = ∠ C$
$∴ ∠ B =$ ▲ （ ▲ ）
$∴ A B / / C D$ （ ▲ ）

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四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

19. 如图，把 $△ A B C$ 的点A平移到点 $A^{'}$ ，点B、C的对应点分别是点 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ ．

(1)、在图中画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$

(2)、写出点 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 的坐标： $B^{'}$ ， $C^{'}$ ；

(3)、若 $△ A B C$ 内部一点P的坐标为 $(a, b)$ ，则点P平移后的对应点 $P^{'}$ 的坐标是．

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20. 估算能力是一种重要的数学运算能力，特别是对算术平方根的估算．
信息一：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如： $π$ 、 $\sqrt{2}$ 等而常用的“…”或者“ $\approx$ ”的表示方法都不够百分百准确．
信息二：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5-2得来的；
信息三：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如 $2 < \sqrt{5} < 3$ ，是因为 $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ ，根据上述信息，回答下列问题：

(1)、 $\sqrt{13}$ 的整数部分，小数部分是．

(2)、 $10 + \sqrt{3}$ 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为： $a < 10 + \sqrt{3} < b$ ，求 $a + b$ 的值；

(3)、已知 $3 + \sqrt{3} = x + y$ ，其中x是整数， $0 < y < 1$ ，求 $2 x - y$ 的值．

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21. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A ， B的坐标分别为 $A (a, 0)$ ， $B (b, 0)$ ，且a ， b满足 $| a + 2 | + \sqrt{b - 4} = 0$ ，点C的坐标为 $(0, 3)$ ．

(1)、求a ， b的值及 $S_{△ A B C}$ ；

(2)、若点M在x轴上，且 $S_{△ A C M} = - \frac{1}{3} S_{△ A B C}$ ，试求点M的坐标．

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五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分）

22. 探究问题：已知 $∠ A B C$ ，画一个角 $∠ D E F$ ，使 $D E / / A B$ ， $E F / / B C$ ，且DE交BC于点 $P$ ． $∠ A B C$ 与 $∠ D E F$ 有怎样的数量关系？

(1)、我们发现 $∠ A B C$ 与 $∠ D E F$ 有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中 $∠ A B C$ 与 $∠ D E F$ 数量关系为 ▲ ；
图2中 $∠ A B C$ 与 $∠ D E F$ 数量关系为 ▲ ；
因此得出一个真命题（用文字叙述）： ▲ ．
②请选择其中一幅图证明结论．

(2)、根据①所得的结论，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．

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23. 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①， $A B / / C D$ ，点 $P$ 在AB与CD之间，可得结论： $∠ B A P + ∠ A P C + ∠ P C D = 360 °$ ．
理由如下：过点 $P$ 作 $P Q / / A B$ ． $∴ ∠ B A P + ∠ A P Q = 180 °$ ．
$∵ A B / / C D$ ， $∴ P Q / / C D$ ， $∴ ∠ P C D + ∠ C P Q = 180 °$ ， $∴ ∠ B A P + ∠ A P C + ∠ P C D = 360 °$ ．
【问题解决】

(1)、如图②， $A B / / C D$ ，点 $P$ 在AB与CD之间，求证： $∠ B A P + ∠ P C D = ∠ A P C$ ；

(2)、如图③， $A B / / C D$ ，点 $P$ 在AB与CD之间，AE平分 $∠ B A P$ ， $C E$ 平分 $∠ D C P$ ，写出 $∠ A E C$ 与 $∠ A P C$ 间的等量关系，并写出理由；

(3)、如图④， $A B / / C D$ ，点P、E在AB与CD之间， $∠ B A E = \frac{1}{3} ∠ B A P$ ， $∠ D C E = \frac{1}{3} ∠ D C P$ ，可得 $∠ A E C$ 与 $∠ A P C$ 间的等量关系是．（只写结论）

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