广西壮族自治区贺州市昭平县2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试题

试卷更新日期：2024-05-27 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，其36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）

1. -2024的相反数是（）

A、2024 B、 $- \frac{1}{2024}$ C、-2024 D、 $\frac{1}{2024}$

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2. 若二次相式 $\sqrt{5 - x}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x ⩾ 0$ B、 $x > 0$ C、 $x ⩽ 5$ D、 $x < 5$

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3. 下列式子中与 $\sqrt{3}$ 为同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{9}$ D、 $\sqrt{6}$

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4. 下列根式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ C、 $\sqrt{23}$ D、 $\sqrt[3]{2}$

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5. 如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 $(A C = B C, ∠ A C B = 9 0^{°})$ ，点 $C$ 在DE上，点 $A$ 和 $B$ 分别与木墙的顶端重合，则两堵水墙之间的距离DE的长度为（）

A、 $21 c m$ B、 $24 c m$ C、 $27 c m$ D、 $30 c m$

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6. $△ A B C$ 的三条边外别为a，b，c，下列条件不能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）.

A、 $b^{2} = (a + c) (a - c)$ B、 $∠ A = ∠ B + ∠ C$ C、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$ D、 $a = 6, b = 8, c = 10$

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7. 下列计算正确的是（）

A、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} = 5$ B、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$ C、 $5 \sqrt{3} \times 5 \sqrt{2} = 5 \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{4 \frac{1}{2}} = 2 \sqrt{\frac{1}{2}}$

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8. 若关于 $x$ 的方程 $(a - 3) x^{| a - 1 |} + x - 1 = 0$ 是一元二次方程，则 $a$ 的值是（）

A、-1 B、2 C、-1或3 D、3

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9. 将一元二次方程x²-x-1=0配成(x+p)²=q的形式，则p的值是（）

A、-1 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10. 若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=-bx-k的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 对于任意的正数x、y的新定义运等： $\otimes$ 为： $x \otimes y {\begin{array}{l} \sqrt{x} - \sqrt{y} (x ⩾ y) \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} (x < y) \end{array}$ ，计算 $(18 \otimes 12) + (27 \otimes 32)$ 的结果为（）

A、 $7 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $7 \sqrt{2} - \sqrt{3}$ D、 $7 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

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12. 如图所示， $△ A B C$ 的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ B、 $\frac{8}{5} \sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\frac{4}{5} \sqrt{5}$

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二、填空题:(本题共计6小题,每题2分,共计12分)

13. 比较大小： $2 \sqrt{3}$ $3 \sqrt{2}$ .（填“>、<或=”）

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14. 分解因式： $a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} =$ ．

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15. 当 $x = 1$ 时，分式 $\frac{x}{x - 2}$ 的值是.

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16. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路，在剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 $570 m^{2}$ .若设道路的宽为 $x m$ ，则所列方程是.

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17. 阅读理解材料：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如：① $\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ② $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^{2} - 1^{2}} = \sqrt{2} + 1$ 等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{9}} =$ .

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18. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，点 $P$ 为 $A C$ 边上的动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，则 $P B + P D$ 的最小值为.

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三、解答题:(共8小题，满分72分，解答题要写出文字说明、演算步骤或证明过程.)

19. 计算： $| 1 - \sqrt{2} | + {(\frac{1}{5})}^{- 1} - \sqrt[3]{64}$

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20. 研学活动是一种结合学习和实践的教育模式，体现了我国传统文化中“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神。某校为了解学生对本市研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，要求必须从A、B、C、D四个基地选择一个，并将结果绘制成如下统计图。

(1)、本次调查了名学生.

(2)、将条形统计图补充完整.

(3)、若该校有学生3000人，估计该校去 $C$ 基地参加研学的学生人数.

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 3) x + m + 2 = 0$ ，

(1)、求证：无论 $m$ 取何值，方程恒有实数根；

(2)、若以方程两根为等腰三角形的两边，且其中一个根为4，求此三角形的周长.

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22. 姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见。如图：有两只猴子爬到一棵树CD上的点 $B$ 处，且 $B C = 2 m$ ，突然发现远方 $A$ 处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树6m处的池塘 $A$ 处，另一只猴子先爬到树顶 $D$ 处后再沿缆绳线段DA滑到 $A$ 处，已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm.

(1)、请用含有 $x$ 的整式表示线段AD的长为m；

(2)、求这棵树高有多少米?

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23. 有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为 $3 d m^{2} 、 8 d m^{2}$ 和 $12 d m^{2}$ 的三块正方形木板.

(1)、截出的三块正方形木板的边长分别为dm，dm和dm；

(2)、求长方形木板的面积；(结果保留根号)

(3)、如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的长方形木块，最多能截出多少块这样的木块? $(\sqrt{2} \approx 1.414, \sqrt{3} \approx 1.732)$

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24. 阅读材料：
材料：关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根 $x_{1}, x_{2}$ 和系数 $a$ ， b，c有如下关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ；
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、类比：一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为m，n，则 $m + n =$ ；mn=；

(2)、应用：已知一元一次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为m，n，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值；

(3)、提升：已知实数s，t满足 $2 s^{2} + 3 s - 1 = 0, 2 t^{2} + 3 t - 1 = 0$ 且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值.

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25. 如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C = 10, D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，当 $D E = 4$ ， $C E = 2$ 时，

(1)、求AD的长度；

(2)、求证：AD是BC的垂直平分线；

(3)、作AB的中点 $F$ ，并连接FD，求DF的长度.(要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

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26. “三月三”是广西壮族人民传统的节日，又称“歌圩节”.近年来，在政府的宣传和倡导下，“三月三”逐渐得到大家的重视，购买壮族服饰的人越来越多。某壮族服饰支卖店统计了近三年某款壮族服饰的销售量，2021年销售量为1500套，2023年销售毁为2160套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同.

(1)、求该款壮族服饰销售量的年平均增长率；

(2)、若该款壮族服饰的进价为100元/套，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该款壮族服饰的实际售价应定为多少元?

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