江苏省常州市2024年中考数学一模试题

试卷更新日期：2024-05-27 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

1. $- \frac{1}{4}$ 的倒数是（）

A、4 B、 $- 4$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2. 截止2024年1月31日，理想汽车累计交付量达到约664500辆，其中664500可用科学记数法表示为（）

A、 $66.45 \times 1 0^{4}$ B、 $0.6645 \times 1 0^{5}$ C、 $6.645 \times 1 0^{5}$ D、 $6.645 \times 1 0^{4}$

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3. 计算 ${(- 3 x y^{3})}^{2}$ 的结果是（）

A、 $6 x^{2} y^{6}$ B、 $9 x^{2} y^{5}$ C、 $- 9 x^{2} y^{6}$ D、 $9 x^{2} y^{6}$

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4. 如图是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，则该几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、有一个实数根 D、没有实数根

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6. 当 $x = 2$ 时，代数式 $a x^{3} + b x + 1$ 的值为6，那么当 $x = - 2$ 时，这个代数式的值是（）

A、1 B、 $- 5$ C、6 D、 $- 4$

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7. 如图，A、B、C、D、E、F为 $⊙ O$ 的六等分点，甲同学从中任取三点画一个三角形，乙同学用剩下的点画一个三角形，则甲乙两位同学所画的三角形全等的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

9. 4的算术平方根是．

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10. 要使 $\sqrt{3 x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是.

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11. 分解因式： $x^{2} y - 4y =$ ．

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12. 点 $P (2, - 3)$ 关于直线 $x = 1$ 对称的点的坐标是.

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13. 已知反比例函数 $y = \frac{m - 5}{x}$ ，当 $x > 0$ 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是.

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14. 已知扇形的圆心角为 $120 °$ ，半径为 $\sqrt{3}$ ，则这个扇形的面积 $S =$ .

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15. $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $s i n A = \frac{4}{5}$ ，则 $t a n A$ 的值是.

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16. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线， $O C$ 交 $⊙ O$ 于点D，连结 $B D$ ，若 $∠ C = 26 °$ ，则 $∠ B$ 的大小为 $°$ .

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17. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为10， $C F = 2$ ， $B E = 5 A B$ ， $G E / / C B$ ，则线段 $G E$ 的长为.

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18. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为6，O为正方形对角线 $A C$ 的中点，点E在边 $A B$ 上，且 $B E = 2$ ，点F是边 $B C$ 上的动点，连接 $E F$ ，点G为 $E F$ 的中点，连接 $O G$ 、 $B G$ ，当 $B G = O G$ 时，线段 $E F$ 的长为.

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三、解答题（共84分，其中19至26题每题8分，27、28题每题10分）

19. 计算

(1)、 $\sqrt{12} - 6 t a n 60 ° + {(3 - π)}^{0}$

(2)、 ${(3 x - y)}^{2} - (3 x + 2 y) (3 x - 2 y)$

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20. 解方程和不等式

(1)、解方程： $\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{3 - x} = 1$

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x + 1 > x \\ \frac{x + 5}{2} - x \geq 1 \end{array}$

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21. 为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩进行整理、描述和分析，如图1，将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标.
图1 图2

(1)、学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是分.

(2)、两次成绩均达到或高于90分的学生有个

(3)、为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成8组： $60 \leq x < 65$ ， $65 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 75$ ， $75 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 85$ ， $85 \leq x < 90$ ， $90 \leq x < 95$ ， $95 \leq x \leq 100$ ）
在 $75 \leq x < 80$ 的成绩分别是77，77，78，78，78，79，79，则这30位学生两次活动平均成绩的中位数是.

(4)、假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数.

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22. 2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，这个魔术中隐含了一个数学问题——约瑟夫问题，春晚结束后，小华和小丽玩起了抽扑克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9.将这四张牌背面朝上，洗匀.

(1)、小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是；

(2)、小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，洗匀，接着小华再从中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请求出他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率.

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23. 如图，菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，过点C作 $C E / / B D$ ，过点D作 $D E / / A C$ ， $C E$ 与 $D E$ 相交于点E.

(1)、求证：四边形 $O C E D$ 是矩形.

(2)、若 $A B = 10$ ， $A C = 12$ ，求四边形 $O C E D$ 的周长.

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24. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两?”根据以上译文，提出以下两个问题：

(1)、求每头牛、羊各值多少两银子?

(2)、若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法?列出所有可能的购买方案。

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25. 如图， $∠ A O B = 90 °$ ， $t a n A = \frac{1}{2}$ ，反比例函数 $y = - \frac{2}{x} (x < 0)$ 的图像过点 $B (- 2, a)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 经过点A.

(1)、求a和k的值

(2)、过点B作 $B C / / x$ 轴，与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于点C，求 $△ O A C$ 的面积.

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26. 定义：若实数a、b、 $a^{'}$ 、 $b^{'}$ 满足 $a = k a^{'} + 2$ 、 $b = k b^{'} + 2$ （k为常数， $k \neq 0 ）$ ，则在平面直角坐标系 $x O y$ 中，称点 $(a, b)$ 为 $(a^{'}, b^{'})$ 的“k值友好点”.例如，点 $(3, 0)$ 是点 $(1, - 2)$ 的“k值友好点”.

(1)、在 $(- 3, 5)$ ， $(2, 3)$ ， $(- 1, 4)$ ， $(1, 3)$ 四点中，点是点 $P (1, - 1)$ 的“k值友好点”.

(2)、设点 $Q (x, y)$ 是点 $P (1, - 1)$ 的“k值友好点”
①当 $P Q = 2 O P$ 时，求k的值.
②若点A坐标为 $(6, 4)$ ，当 $∠ A Q P = 45 °$ 时，请直接写出点Q的坐标以及k的值.

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27. 如图，抛物线 $C_{1} : y = \frac{1}{4} x^{2} + x - 3$ ，抛物线 $C_{2}$ 交x轴于点A、B（点A在点B的右侧），交y轴于点C，抛物线 $C_{2}$ 与抛物线 $C_{1}$ 关于原点成中心对称.

(1)、求抛物线 $C_{2}$ 的函数表达式和直线 $A C$ 对应的函数表达式.

(2)、点D是第一象限内抛物线 $C_{2}$ 上的一个动点，连接 $B D$ 、 $A C$ ， $B D$ 与 $A C$ 相交于点P.
①作 $P E ⊥ x$ 轴，垂足为E，当 $P E = C P$ 时，求点P的横坐标.
②请求出 $\frac{D P}{B P}$ 的最大值.

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28. 如图1，小明借助几何软件进行数学探究： $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， D是边 $A C$ 的中点，E是线段 $A D$ 上的动点（不与点A、点D重合），边 $B C$ 关于 $B E$ 对称的线段为 $B F$ ，连接 $A F$ .

(1)、当 $△ A B F$ 为等腰直角三角形时， $∠ A B E$ 的大小为 $°$ .

(2)、图2，延长 $F A$ ，交射线 $B E$ 于点G.
①请问 $∠ G$ 的大小是否变化?如果不变，请求出 $∠ G$ 的大小；如果变化，请说明理由.
②若 $A B = 4$ ，则 $△ B F G$ 的面积最大为_▲_，此时 $A E =$ _▲_.

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