浙江省绍兴市2024年中考数学一模考试试卷

试卷更新日期：2024-05-27 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 在 $- 4$ ， $- 1$ ， 0，1这四个数中，比 $- 2$ 小的数是（）

A、 $- 4$ B、−1 C、0 D、1

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2. 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{4}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 ${(a b)}^{3} = a^{3} b^{3}$

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4. 平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 交于点O ，则 $A O$ 不可能是 $△ A B D$ 的（）

A、中线 B、高线 C、中位线 D、角平分线

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5. 为了解本地区人均淡水消耗量，需从一名男生和两名女生中随机抽调两人，组成调查小组，则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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6. 古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个？”该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组是（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ \frac{11}{9} x + \frac{4}{7} y = 999 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ \frac{9}{11} x + \frac{7}{4} y = 999 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 999 \\ 11 x + 4 y = 1000 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 999 \\ 9 x + 7 y = 1000 \end{array}$

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，点E ， F分别在边 $A B$ ， $C D$ 上， $∠ E F D = 60 °$ ．将四边形 $E B C F$ 沿 $E F$ 折叠得到四边形 $E B^{'} C^{'} F$ ，且点 $B^{'}$ 恰好在 $A D$ 边上，连结 $E C^{'}$ ，则 $E C^{'}$ 的长是（）

A、4 B、 $\sqrt{13}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{11}$

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8. 开口向下的抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 经过点 $(2, 0)$ ，则下列关系式可能成立的是（）

A、 $4 a + b = 0$ B、 $3 a + b = 0$ C、 $2 a + b = 0$ D、 $a + b = 0$

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9. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B > A C$ ．分别以 $△ A B C$ 三边为底边向外作等腰直角三角形 $A B D ， B C F ， C A E$ ，连结 $D F ， E F$ ．若 $△ D E F$ 与 $△ A B C$ 面积比为 $5 ： 2$ ，则 $t a n ∠ A B C$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{5 - \sqrt{21}}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

10. 因式分解：x²y﹣y= ．

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11. 在平面直角坐标系中，将点 $P (- 3, - 2)$ 水平向右平移 $a$ 个单位后落在第四象限内，则 $a$ 的值可以是．（写出一个即可）

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12. 不等式 $\frac{x - 1}{2} > 2 x - 1$ 的解集是．

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13. 如图， $A B$ 是⊙O的切线，点B为切点，作 $A C ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点A ， $A C$ 交⊙O于C ， D两点，若 $A B = 3$ ， $A C = 9$ ，则⊙O的半径长是．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (1, 1)$ ， $B (1, 5)$ ，动点 $C$ 在线段 $A B$ 上（不与端点重合），点 $B$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到点 $D$ ，若点 $D$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则 $k$ 的取值范围是．

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15. 某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；……，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是．

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三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16.

(1)、计算： ${(2024 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - 2 t a n 45 °$ ．

(2)、解方程： $\frac{x + 3}{2 x - 1} = \frac{3}{5}$ ．

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17. 为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题．

(1)、求参与调查的学生中喜爱篮球的人数．

(2)、该校九年级共有520名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？

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18. 图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的长度均为 $20 c m$ ，螺杆 $A C$ 与水平地面平行．

(1)、当 $∠ D A C = 30 °$ 时，求千斤顶顶部到水平地面的距离 $B D$ 的长．

(2)、当 $∠ D A C$ 由 $30 °$ 变为 $40 °$ 时，千斤顶顶部到水平地面的距离 $B D$ 的长将增加多少？（结果精确到 $0.1 c m$ ．参考数据： $s i n 40 ° \approx 0.64$ ， $c o s 40 ° \approx 0.77$ ， $t a n 40 ° \approx 0.84$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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19. 图1，图2，图3均为 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 $A B$ 的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可．

(1)、在图1中找一个格点P ，连结 $B P$ ，使 $∠ A B P = 45 °$ ．

(2)、在图2中找两个格点P ， Q ，连结 $P Q$ ，使直线 $P Q ⊥ A B$ ．

(3)、在图3中找两个格点P ， Q ，连结 $P Q$ 交线段 $A B$ 于点C ，使 $A C = 3 B C$ ．

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20. 学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系，他想进一步探究“某个弹簧伸长的长度y（ $c m$ ）与它所受到的拉力x（N）（ $0 \leq x \leq 6$ ）之间的关系”，于是采用了如图装置进行探究．
实验中，他观察到当拉力为2N时，弹簧长度为6 $c m$ ，同时还收集到了如下数据：
弹簧受到的拉力x（N）
0.5
1
1.5
2
…
6
弹簧伸长的长度y（ $c m$ ）
1
2
3
4
…
12

(1)、在受到的拉力为0N时，弹簧的长度是多少？

(2)、求弹簧伸长的长度y关于它所受到的拉力x的函数表达式．

(3)、当弹簧的长度为10 $c m$ 时，求弹簧受到的拉力x的值．

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21.

(1)、【探究发现】如图1， $△ A B C$ 中，点 $D ， E$ 分别在边 $A B ， A C$ 上， $D E ∥ B C$ ， M为 $D E$ 中点，连结 $A M$ 并延长交 $B C$ 于点N ，求证： $B N = C N$ ．

(2)、【拓展应用】如图2，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，对角线 $A C ， B D$ 交于N点， $E ， F$ 分别是边 $A B ， A D$ 上的点， $E F ∥ B D$ 交 $A C$ 于点M ，若 $A D = 2 ， B C = 3$ ，求 $\frac{E M}{M F}$ 的值．

(3)、【综合提升】如图3，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， ∠ A B C = 60 °$ ，动点E在边 $A B$ 上，过E作 $E F ∥ B D$ 交 $A C$ 于点F ，过F作 $F G ⊥ E F$ 交 $B C$ 于点G ，连结 $E G$ ，求 $E G$ 的最小值．

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22. 已知 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, y_{3})$ ，点A与点B不重合．

(1)、若点A ， B ， C都在函数 $y = 2 x$ 的图象上，计算 $\frac{y_{1} + y_{2}}{2} - y_{3}$ 的值．

(2)、若点A ， B ， C都在函数 $y = 2 x^{2}$ 的图象上，求证： $\frac{y_{1} + y_{2}}{2} - y_{3} > 0$ ．

(3)、若点A ， B ， C都在函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ，常数 $k \neq 0$ ）的图象上，判断 $\frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ 与 $y_{3}$ 的大小关系，并说明理由．

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23. 如图， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $B D$ 交 $A C$ 于点 $E$ ， $\overset{⌢}{B C} = 2 \overset{⌢}{C D}$ ，连结 $A B$ ， $A D$ ．

(1)、如图 $1$ ，若 $∠ D = 50 °$ ，求 $∠ C A D$ 的度数．

(2)、如图 $2$ ，点 $N$ 在弦 $A D$ 上，作 $M N ⊥ A D$ ， $M N$ 分别交弦 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $P$ ， $M N = B E$ ，过 $B$ 作 $B F ∥ M N$ 交 $A C$ 于点 $F$ ．
①求证： $B F = M N$ ．
②如图 $3$ ，连结 $M E$ ，若 $B M = 4$ ， $M E = 2 \sqrt{11}$ ，求 $A P$ ， $P E$ 的长．

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弹簧受到的拉力x（N）	0.5	1	1.5	2	…	6
弹簧伸长的长度y（ $c m$ ）	1	2	3	4	…	12