浙江省金华市义乌市2024年中考数学二模考试试卷

试卷更新日期：2024-05-27 类型：中考模拟

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一、选择题（请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）

1. $- 2024$ 的绝对值是（）

A、2024 B、 $- \frac{1}{2024}$ C、 $- 2024$ D、 $\frac{1}{2024}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{4} = a^{6}$ B、 $(3 a)^{2} = 6 a^{2}$ C、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ D、 ${(- a b^{3})}^{2} = a^{2} b^{6}$

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3. 如图，由相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 据统计，目前我国每年直接浪费掉的粮食达到3500万吨，浪费掉的粮食就足够满足两亿人一年的口粮．将数据3500万用科学记数法表示为（）

A、 $3.5 \times 1 0^{7}$ B、 $0.35 \times 1 0^{8}$ C、 $3.5 \times 1 0^{8}$ D、 $35 \times 1 0^{7}$

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5. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，标号分别为 $1, 2, 3, 4, 5$ ，现从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 若二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x ⩾ 3$ B、 $x ⩾ - 3$ C、 $x ⩽ - 3$ D、 $x ⩽ 3$

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7. 如图，已知直线 $m ∥ n$ ，将一块含 $30 °$ 角的直角三角板 $A B C$ 按如图方式放置 $(∠ B = 30 °)$ ，其中点A落在直线m上，直线n分别交边 $A B, B C$ 于点 $D, E$ ．若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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8. 如图， $R t △ A B C$ 中，已知 $∠ B A C = 90 °, ∠ B = 30 °, A C = 2$ ．现以 $A C$ 为一边向外侧作等边三角形 $A C N$ ，分别取 $B C, C N$ 的中点记为 $D, E$ ，连结 $D E$ ．则 $D E$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $\sqrt{7}$

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9. 已知 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是关于x的函数，当 $x = a$ 时，函数值分别是 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ ，若存在实数a ，使得 $R_{1} = R_{2} + 2$ ，则称函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是“奇妙函数”．以下函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 不是“奇妙函数”的是（）

A、 $y_{1} = x^{2} + 2$ 和 $y_{2} = 2 x$ B、 $y_{1} = x$ 和 $y_{2} = x^{2} + 2 x - 1$ C、 $y_{1} = \frac{1}{x}$ 和 $y_{2} = x + 2$ D、 $y_{1} = - \frac{2}{x}$ 和 $y_{2} = x - 5$

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10. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形 $A B C D$ 就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形 $A B C D$ 面积的是（）

A、 $B M$ 与 $D M$ 的积 B、 $B E$ 与 $D E$ 的积 C、 $B M$ 与 $D E$ 的积 D、 $B E$ 与 $D M$ 的积

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 实数 $- 8$ 的立方根是

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12. 因式分解： $3 m n^{2} + m n =$ ．

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13. 已知某班一合作学习小组6名同学一周在家劳动的时间（单位：h）分别为： $3, 4, 5, 4, 6, 5$ ，则这组数据的中位数是．

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14. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为 $9 c m$ ，圆心角为 $120 °$ 的扇形，则这个圆锥的底面半径是 $c m$ ．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = 6, B C = 8, O C$ 是 $A B$ 边上的中线，点E在 $C B$ 上，连结 $A E$ ，将 $△ C A E$ 沿着 $A E$ 向 $△ A B C$ 内部翻折得到 $△ P A E$ ．若 $P E ∥ O C$ ，则 $C E =$ ．

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16. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x - 3$ 的图象与x轴交于点A ，与y轴交于点B ，且 $O A = 1$ ．

(1)、 $b =$ ．

(2)、已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为 $t (t < 0)$ ，记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为 $d_{1}, d_{2}$ ．若 $| d_{1} - d_{2} | = 1$ ，则t的取值范围为．

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三、解答题（本题有8小题，共66分）

17. 计算： $\sqrt{16} - (π - 2024)^{0} + 2^{- 1} - s i n 30 °$ ．

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18. 先化简，再求值： $3 x - y^{2} + \frac{1}{3} (3 x - 6 y^{2})$ ．其中 $x = - 1, y = 2$ ．

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19. 小汪解答“解分式方程：

$\frac{2 x + 3}{x - 2} - 2 = \frac{x - 1}{2 - x}$ 的过程如下：

你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程．

解：去分母得： $2 x + 3 - 2 = - (x - 1)$ …①，

去括号得： $2 x + 3 - 2 = - x + 1$ …②，

移项得： $2 x + x = 1 + 2 - 3$ …③，

合并同类项得： $3 x = 0$ …④，

系数化为1得： $x = 0$ …⑤，

经检验， $x = 0$ 是原分式方程的解．

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20. 为了着力解决小眼镜、小胖墩和学生心理健康问题等建议，某校开设了以“小课间大运动大课间小比赛”的活动课程，学校要求每位学生在“丢沙包”“滚保龄球”“踢毽子”与“跳绳”四门课程中选且只能选其中一门并随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：

(1)、这次活动一共调查了名学生，并补全条形统计图．

(2)、求图2中“丢沙包”扇形圆心角的度数．

(3)、若该学校共有1500名学生，请估计该校有多少名学生喜欢“滚保龄球”．

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21. 如图，已知四边形 $A B C D$ 是菱形，延长 $A D$ 至点E ，使 $A E = 2 B C$ ．

(1)、求证： $∠ A C E = 90 °$ ．

(2)、若 $A C = 16, B C = 10$ ，求四边形 $A B C E$ 的面积．

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22.

草莓种植大棚的设计
生活背景	草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
建立模型	$（ 1 ）$ 如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线 $O P N$ ，其中点P为抛物线的顶点，大棚高 $P E = 4 m$ ，宽 $O N = 12 m$ ．现以点O为坐标原点， $O N$ 所在直线为x轴，过点O且垂直于 $O N$ 的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式．图1
解决问题	$（ 2 ）$ 如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中 $A B = B E = E C = C D$ ．求门高 $A B$ 的值． $（ 3 ）$ 若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段 $O Q$ ，求此时 $O Q$ 的长．图2

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23.

(1)、【基础巩固】
如图1，在 $△ A B C$ 中，点D是 $A B$ 上的一点，且 $∠ A C D = ∠ B$ ，求证： $A C^{2} = A B \cdot A D$ ．

(2)、【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，过点D作 $D E ∥ A C$ ，交 $C B$ 于点E ．若 $A D : D B = 1 : 3$ ， $B C = 8$ ，求 $C D$ 的长．

(3)、【拓展提高】
如图3，在 $▱ A B C D$ 中，点E是 $C D$ 的中点，连结 $B E, A E$ 交 $B D$ 于点F ，且 $∠ D F A = ∠ E B A$ ．若 $s i n ∠ B D C = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $t a n C$ 的值．

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24. 如图1，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，点D为 $⊙ O$ 上一点（不与 $A, B, C$ 重合）．连结 $A C, C D, D B$ ，过点A作 $A E ∥ C D$ ，交直线 $B D$ 于点E ．

(1)、当点D在 $\overset{⌢}{B C}$ 上时，
①求 $∠ C D B$ 的度数．
②若 $\frac{B E}{B D} = 2, C D = \sqrt{2}$ ，求 $A E$ 的值．

(2)、如图2，记 $C D = a$ ，作点D关于直径 $A B$ 的对称点F ，连结 $D F, C F$ ．若 $△ C D F$ 为等腰三角形，请直接写出 $A E$ 的值（用含a的代数式表示）．

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