浙江省宁波市江北区2024年中考数学一模考试试卷

试卷更新日期：2024-05-27 类型：中考模拟

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一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 在东西走向的马路上，若把向东走1km记做＋1km，则向西走2km应记做（）

A、＋2km B、－2km C、＋1km D、－1km

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2. 下列各式计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{6}$

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3. 如图是我们常见的盒装牛奶，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列统计量中，能够反映不同种子发芽率稳定性的是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $t a n B = \frac{4}{3}$ ，则 $s i n A$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{3}$

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6. 如图，点O为四边形ABCD内的一点，连结OA ， OB ， OC ， OD ，若 $\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{O B^{'}}{O B} = \frac{O C^{'}}{O C} = \frac{O D^{'}}{O D} = \frac{1}{4}$ ，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积与四边形ABCD的面积比为（）

A、 $1 : 2$ B、 $1 : 4$ C、 $1 : 8$ D、 $1 : 16$

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7. 如图，在 $⊙ O$ 中， $△ A O B$ 是正三角形，点C在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，若 $∠ C A B = 20 °$ ，则 $∠ A B C =$ （）

A、10° B、15° C、20° D、25°

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8. 我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有里长值月议云每里科出银五钱依帐买物以辨酒席多银三两五钱每里科出四钱亦多五钱问合用银并里数若干”．意为：里长们（“里”是指古代的一种基层行政单位）在月度会上商议出银子购买物资办酒席之事．若每里出5钱，则多出35钱；若每里出4钱，则多出5钱．问办酒席需多少银子，里的数量有多少个？若设里的数量有x个，办酒席需要用y钱银子，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 y = x + 35 \\ 4 y = x - 5 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 y = x + 35 \\ 4 y = x + 5 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x = y + 35 \\ 4 x = y - 5 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x = y + 35 \\ 4 x = y + 5 \end{array}$

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9. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 5$ ， $B C = 8$ ，点E在AD上，且 $A E = 3$ ，点F是BC边上的点，连结EF ，将四边形ABFE沿直线EF翻折得到四边形MNFE ．当D ， M ， N三点共线时，BF的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{11}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{11}{2}$

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10. 已知点 $P (4 t, m)$ ， $Q (t^{2} + 5, n)$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，则下列结论中一定正确的是（）

A、 $m + n > 0$ B、 $m + n < 0$ C、 $| m | > n$ D、 $| m | < n$

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二、填空题（每小题4分，共24分）

11. 请写出一个比1大的无理数：．

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12. 因式分解： $a^{2} - 1$ =.

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13. 有5张仅编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率为．

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14. 将一副三角板按如图所示放置，使点A在边DE上，此时 $B C ∥ D E$ ，则 $\frac{E F}{F C}$ 的值为．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P为抛物线 $y = - a x^{2} - 2 a x + 3 a (a > 0)$ 上任意一点，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M ， N ．设点P的横坐标为t ，若抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则t的取值范围为．

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16. 小明用图1所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状（图2）．若A ， B ， C三点共线且点D ， A ， E ， F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为．

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三、解答题（本大题有8小题，共66分）

17. 计算下列各式：

(1)、 ${(- 2)}^{3} + | - 1 | + \sqrt{4}$

(2)、 $(x + 2) (x - 2) - x (x - 2)$

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18. 如图是由边长为1的小正方形构成的6×5网格，点A ， B均在格点上．

(1)、请在图1中，画出一个格点 $△ A B C$ ，使 $△ A B C$ 为轴对称图形．

(2)、请在图2中，画出一个格点四边形ABDE ，使四边形ABDE为中心对称图形．
（注：格点多边形，即多边形的每个顶点均在格点上．）

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + a = 0$ ．

(1)、从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程．

(2)、若这个方程无实数根，求a的取值范围．

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20. 丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活服务社会，更能帮助同学们树立正确的劳动态度与价值观．为迎接“五一劳动节”，学校将开展以下四项实践活动：A ．博物馆小小解说员，B ．汽车南站送祝福，C ．地铁小义工，D ．警营岗位体验，并让同学们自主选择其中一项参加．以下是从全校学生中随机抽取部分学生进行调查的相关统计图（缺少部分信息）．
由图中给出的信息解答下列问题：

(1)、求抽取的学生中选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数，并补全条形统计图．

(2)、求扇形统计图中“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数．

(3)、若该校共有2000名学生，请根据抽样调查的结果，估计该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有多少人？

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21. 小江和小北两人相约爬山锻炼身体，山顶距出发地路程为600米．小江爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬．小北因有事耽搁，出发晚了8分钟，为追赶小江，小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山顶．两人距出发地路程y（米）与小江登山时间x（分钟）之间的函数关系如图所示（注：小江，小北每一段的爬行均视为匀速）．

(1)、小江休息前登山的速度为米/分钟，小北减速后登山的速度为米/分钟．

(2)、求a的值．

(3)、若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后的速度至少要比原来提高多少米/分钟？

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22. 如图，在矩形ABCD中，分别以点A ，点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径在线段AC的两侧分别画弧，得交点G ， H ，作经过点G ， H的直线与线段AD ， CB的延长线分别交于点E ， F ，且与AC交于点O ，连结CE ， AF ．

(1)、判断四边形EAFC的形状，并说明理由．

(2)、若 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，求CE的长．

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23. 【问题背景】
小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．

(1)、【高度测算】
小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°；当第一次大喊时，泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C ，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高AD为1.5米．
任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度BC的值．（仅结果保留整数）
（参考数据： $s i n 75 ° \approx 0.97$ ， $c o s 75 ° \approx 0.26$ ， $t a n 75 ° \approx 3.7$ ）

(2)、【初建模型】
泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（m）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系．
任务2 根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为．

(3)、【数据分析】
为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：
时间t（秒）
0
1.5
1.75
2
2.25
2.5
响度x（分贝）
0
36
49
64
81
100
任务3 为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式．

(4)、【推理计算】
据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米．
任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间．

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24. 如图1，四边形ABCD内接于 $⊙ O$ ，点A是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点， $C D \neq C B$ ．直线MN与 $⊙ O$ 相切于点A ，交CD的延长线于点E ，已知 $A B = 10$ ，思考并解决以下问题：

(1)、求证： $∠ E A D = ∠ A C B$ ．

(2)、求 $D E \cdot C B$ 的值．

(3)、如图2，在AC上取一点F ，使 $∠ C A B = 2 ∠ C D F$ ．
①判断AD与AF的数量关系，并说明理由．
②如图3，作 $F H ⊥ B C$ 于点H ， $A I ⊥ B D$ 于点I ．若 $F H : A I = 2 : 3$ ， $s i n ∠ B C D = \frac{4}{5}$ ，连结OF ，请直接写出 $t a n ∠ O F G$ 的值．

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时间t（秒）	0	1.5	1.75	2	2.25	2.5
响度x（分贝）	0	36	49	64	81	100