四川省绵阳市三台县2023-2024学年高二下学期数学期中教学质量调研测试试题

试卷更新日期：2024-05-27 类型：期中考试

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一、单选题；本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列函数求导正确的是（）

A、 ${(\frac{1}{x})}^{^{'}} = \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(x e^{x})}^{^{'}} = (1 + x) e^{x}$ C、 $(2 l n x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ D、 $(s i n x)^{'} = - c o s x$

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2. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = a_{n + 1} + 2$ ， $a_{5} = 18$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{10} =$ （）

A、230 B、210 C、190 D、170

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3. 若 $R$ 上的可导函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处满足 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{2 Δ x} = 3$ ，则 $f^{'} (x_{0}) =$ （）

A、6 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、 $\frac{2}{3}$

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4. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = - 1$ ， $a_{n} = \frac{1}{1 - a_{n - 1}} (n \geq 2)$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、2 B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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5. 定义数列 ${4 n + 1}, {5 n + 3}$ 的公共项组成的新数列为 ${a_{n}}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的第101项为（）

A、2025 B、2021 C、2017 D、2013

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6. 已知函数 $f (x) = a s i n x + c o s x$ 区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $[0, + ∞)$ C、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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7. 长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为 $1 : 3$ ，则该模型的体积最大值为（）

A、 $40 \sqrt{3} π$ B、 $80 \sqrt{3} π$ C、 $160 \sqrt{3} π$ D、 $180 \sqrt{3} π$

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8. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x} + c o s x + x^{2}$ ，若 $a = f (\sqrt{2})$ ， $b = f (- e_{}^{\frac{1}{e}})$ ， $c = f (π_{}^{\frac{1}{π}})$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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二、多选题：共4小题，每题5分，共20分，每个题目有两个或两个以上选项符合，错选不得分，少选得2分

9. 已知函数 $f (x)$ 及其导数 $f^{^{'}} (x)$ ，若存在 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个“巧值点”.则下列函数中有“巧值点”的函数是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = e^{- x}$ C、 $f (x) = l n (2 x)$ D、 $f (x) = c o s x$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = a_{1} + \frac{1}{2} a_{2} + \frac{1}{3} a_{3} + ⋯ + \frac{1}{n - 1} a_{n - 1} (n > 1)$ ，则（）

A、 $a_{2} = 1$ B、 $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = \frac{n}{n - 1}$ C、 $a_{n} = \frac{n}{2}$ D、 $a_{n} = {\begin{array}{l} 1, n = 1 \\ \frac{n}{2}, n \geq 2 \end{array}$

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11. 设定义在 $R$ 上的连续函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，已知函数 $y = x \cdot f^{^{'}} (x)$ 的图象（如图）与 $x$ 轴的交点分别为 $(- 2, 0), (0, 0), (2, 0)$ .则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调递增区间是 $(- 2, 0), (2, + \infty)$ B、函数 $f (x)$ 的单调递增区间是 $(- \infty, - 2), (2, + \infty)$ C、 $x = - 2$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点 D、 $x = 2$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点

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12. 如图，等边 $△ A B C$ 的边长为 $2 c m$ ，取等边 $△ A B C$ 各边的中点 $D, E, F$ ，作第2个等边 $△ D E F$ ，然后再取等边 $△ D E F$ 各边的中点 $G, H, I$ ，作第3个等边 $△ G H I$ ，依此方法一直继续下去.设等边 $△ A B C$ 的面积为 $a_{1}$ ，后继各等边三角形的面积依次为 $a_{2}, a_{3}, ⋯, a_{n}, ⋯$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{4} = \frac{\sqrt{3}}{64}$ B、 $l n a_{n + 1}$ 是 $l n a_{n}$ 和 $l n a_{n + 2}$ 的等比中项 C、从等边 $△ A B C$ 开始，连续5个等边三角形的面积之和为 $\frac{341 \sqrt{3}}{256}$ D、如果这个作图过程一直继续下去，那么所有这些等边三角形的面积之和将趋近于 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.

13. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 n^{2} + n + 1$ ，则该数列的通项公式为.

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14. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2}$ ，若 $x = - 1$ 时， $f (x)$ 取得极值0，则 $a b =$ .

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15. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1$ ， $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2$ ，则 $a_{6} + a_{7} + a_{8}$ 的值是.

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16. 已知函数 $f (x) = x (l n x - 2 a x)$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题：本大题共6个小题，其中第17题10分，其余每小题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 在等差数列{a_n}中，a₁+a₃=8，且a₄为a₂和a₉的等比中项，

(1)、求数列{a_n}的首项，公差；

(2)、求数列{a_n}的前n项和.

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18. 已知函数 $f (x) = a x + b s i n x$ 的图象在点 $(π, f (π))$ 处的切线方程是 $y = - \frac{1}{2} x + π$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上的最大值与最小值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ____．在①数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ；②数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之积为 $S_{n} = 2^{\frac{n (n + 1)}{2}} (n \in N^{*})$ 这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选____”）

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，设数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 1$ ．

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20. 某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2024年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．

(1)、设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为 $a_{n}$ 万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为 $b_{n}$ 万元，求 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ；

(2)、设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为 $A_{n}$ 万元，进行技术改造后的累计纯利润为 $B_{n}$ 万元，依上述预测，从2024年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？

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21. 已知函数 $f (x) = a l n x - x (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e^{2}]$ 上存2个零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x^{2}}$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、设 $g (x) = e^{x} + \frac{1}{3} x^{5} f (x) - \frac{4}{9} x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2}$ ，若对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} > x_{2}$ ，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > a (x_{1} + x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围.

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