四川省内江市2023-2024学年高一下学期数学期中联考试题

试卷更新日期：2024-05-27 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 复数 $z = - 3 i (1 - i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若三角形的三边长分别为 $20$ ， $30$ ， $40$ ，则该三角形的形状是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定的

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3. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - \frac{2}{3}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{b}$

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4. 已知函数 $f (x) = t a n \frac{x}{a}$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 折扇是我国传统文化的延续，它常以字画的形式体现我国的传统文化，如图1，图2是某折扇的结构简化图，已知 $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ， $O A = 2$ ，若 $A, B$ 之间的弧长为 $l$ ，则 $\frac{l}{| A B |} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{9}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} π}{9}$

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6. 已知 $φ > 0$ ，函数 $f (x) = s i n (2 x + φ)$ ， $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq | f (\frac{4 π}{3}) |$ ，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{11 π}{6}$

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7. 如图，在平面直角坐标系中， $A (0, 4 \sqrt{3})$ ， $B (- 4, 0)$ ， $C (4, 0)$ ， $P$ 是线段 $A C$ 上一点（不含端点），若 $\vec{B P} \cdot \vec{O P} = 32$ ，则 $| \vec{O P} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、4 D、 $3 \sqrt{3}$

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8. 如图，为了测量两山顶 $M, N$ 间距离，飞机沿水平方向在 $A, B$ 两点进行测量， $A, B, M, N$ 在同一个铅垂平面内．已知飞机在 $A$ 点时，测得 $∠ M A N = ∠ B A N = 30 °$ ，在 $B$ 点时，测得 $∠ A B M = 60 °$ ， $∠ N B M = 75 °$ ， $A B = 2$ 千米，则 $M N =$ （）

A、 $4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}$ 千米 B、 $4 - 2 \sqrt{3}$ 千米 C、 $\sqrt{3} + 1$ 千米 D、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ 千米

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知点 $A (0, 0)$ ， $B (2, 1)$ ， $C (2, 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $△ A B C$ 是直角三角形 B、若点 $D (4, 1)$ ，则四边形 $A C D B$ 是平行四边形 C、若 $\vec{A P} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ，则 $P (4, 2)$ D、若 $\vec{A P} = 2 \vec{B P}$ ，则 $P (4, 2)$

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10. 已知复数 $z$ ， $z_{1}$ ， $z_{2}$ 均不为0，则下列说法正确的是（）

A、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，且 $z^{2} > 0$ ，则 $z \in R$ B、若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若 $z_{1} + z_{2} ∈ R$ ，则 $z_{1} z_{2} \in R$ D、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} \bar{z_{2}} \in R$ ，则 $\bar{z_{1}} z_{2} \in R$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + \sqrt{3} c o s 2 x + \frac{1}{s i n (\frac{2 π}{3} - 2 x)}$ ，则（）

A、 $f (x + \frac{π}{2}) = f (x)$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 上的最大值为3 D、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的新图象关于 $y$ 轴对称

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的单位向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = - 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $k =$ ．

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 的顶点都在圆 $O$ 上，且 $A D$ 经过圆 $O$ 的圆心，若圆 $O$ 的半径为 $4$ ， $B C = 4$ ，四边形 $A B C D$ 的面积为 $12 \sqrt{3}$ ，则 $C D =$ ．

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14. 若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的取值范围是 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $| 3 \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ ， $\frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\vec{b} \cdot \vec{c}}$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6}) - 2 c o s^{2} x ．$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值及取得最大值时x的取值集合．

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16. 已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (1, x)$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ ；

(2)、若 $\vec{c} = (1, 2)$ ， $\vec{c} / / (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角的余弦值．

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17. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\frac{2 t a n A}{1 + t a n^{2} A} = \frac{a s i n B}{b}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b + c = \sqrt{3} a$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $F$ 是线段 $A D$ 中点， $\vec{D E} = λ \vec{D C}$ ， $λ \in [- 1, 1]$ ．

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $N$ ， $\vec{A N} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，求 $x - y$ 的值；

(2)、求 $\vec{B E} \cdot \vec{F E}$ 的最小值．

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19. 若定义在A上的函数 $f (x)$ 和定义在B上的函数 $g (x)$ ，对任意的 $x_{1} \in A$ ，存在 $x_{2} \in B$ ，使得 $f (x_{1}) + g (x_{2}) = t$ （t为常数），则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $P (t)$ ．已知函数 $f (x) = 2 c o s (2 x + \frac{π}{6})$ ， $x \in [\frac{π}{12}, \frac{2 π}{3}]$ ．

(1)、若函数 $g (x) = 4 s i n x$ ， $x ∈ R$ ，判断 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是否具有关系 $P (2)$ ，并说明理由；

(2)、若函数 $g (x) = 2 x + a$ ， $x \in [- 1, 2]$ ，且 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $P (4)$ ，求a的最大值；

(3)、若函数 $g (x) = c o s^{2} x - m c o s x + 5$ ， $x ∈ R$ ，且 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $P (3)$ ，求m的取值范围．

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