新疆喀什地区2023-2024学年高三下学期数学4月适应性检测试题

试卷更新日期：2024-05-27 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x \in N^{*} | x^{2} - 4 x - 5 \leq 0}, B = {0, 1, 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${1, 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z = - 1 + \frac{i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的共轭复数的模 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{3} + S_{2} = 5 a_{1}$ ，则公比 $q =$ （）

A、1或3 B、 $- 3$ C、1或 $- 3$ D、1

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 1, x < 1 \\ l n x, x \geq 1 \end{array}$ ，满足 $f (a - 1) < f (3 - a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(2, + ∞)$ C、 $(- ∞, 0)$ D、 $(0, + ∞)$

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5. 在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ 且 $B C = 2 A D, A B ⊥ A D, A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，则向量 $\vec{B O}$ 在向量 $\vec{B A}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{B A}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{B A}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{B A}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{B A}$

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6. 已知 $t a n θ = 2$ ，则 $s i n 2 θ + \frac{\sqrt{2} c o s (θ - \frac{π}{4})}{s i n θ} =$ （）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{23}{10}$ C、 $\frac{11}{5}$ D、 $\frac{19}{5}$

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7. 数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、婲述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数 $f (x) = a e^{x} + b e^{- x}$ （其中 $a, b$ 为非零常数， $e = 2.71828 ⋯$ ）来表示，当 $f (x)$ 取到最小值为2时，下列说法正确的是（）

A、此时 $x = l n a$ B、此时 $a + b$ 的最小值为2 C、此时 $2^{a} + 2^{b}$ 的最小值为2 D、此时 $l n a l n b$ 的最小值为0

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8. 已知函数 $f (x), g (x)$ 的定义域均为 $R, g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数，且 $f (x) + g^{'} (x) = 2$ ， $f (x) - g^{'} (2 - x) = 2$ ，若 $g (x)$ 为偶函数，则 $f (2023) + g^{'} (2024) + g^{'} (2025) =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、-1

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (4, \frac{1}{2})$ ，则 $D (X) = 1$ B、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ，若 $P (X > 1) = 0.15$ ，则 $P (- 1 < X < 0) = 0.15$ C、已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7 D、若事件 $A, B$ 满足 $P (A) > 0, P (B) > 0, P (B | A) = P (B)$ ，则事件 $A, B$ 相互独立

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10. 如图圆台 $O_{1} O_{2}$ ，在轴截面 $A B C D$ 中， $A B = A D = B C = \frac{1}{2} C D = 2$ ，下面说法正确的是（）

A、线段 $A C = 2 \sqrt{3}$ B、该圆台的表面积为 $11 π$ C、该圆台的体积为 $7 \sqrt{3} π$ D、沿着该圆台的表面，从点 $C$ 到 $A D$ 中点的最短距离为5

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11. 对于数列 ${a_{n}}$ ，定义： $b_{n} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，称数列 ${b_{n}}$ 是 ${a_{n}}$ 的“倒和数列”．下列说法正确的有（）

A、若数列 ${a_{n}}$ 单调递增，则数列 ${b_{n}}$ 单调递增 B、若 $a_{n} = 2^{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 有最小值2 C、若 $a_{n} = 2^{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 有最小值 $\frac{5}{2}$ D、若 $b_{n + 1} = b_{n} > 0$ ，且 $a_{n + 1} \neq a_{n}$ ，则 $a_{n + 1} a_{n} = 1$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y = 0$ ，则两圆公共弦所在直线的方程为．

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13. 已知函数 $f (x) = s i n (x - φ) - c o s x$ ，其中 $0 < φ < π$ ，满足 $f (0) = f (\frac{π}{3})$ ，则 $φ =$ ．

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14. “蒙旦圆”涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则该椭圆的蒙日圆方程为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{x} - 2 x + 1$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、设函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调区间．

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16. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b s i n A + a c o s B = c$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{2}, a = 2 \sqrt{5}$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点，求 $A D$ ．

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17. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A D / / B C, B C = 4, B E = A B = A D = D C = 2$ ，且平面 $A B C D ⊥$ 平面 $B C E, B E ⊥ C E, M$ 为 $C E$ 的中点．

(1)、求证： $D M / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $D C E$ 夹角的余弦值．

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F_{1} (- 2 \sqrt{2}, 0)$ ，点 $P (0, 2)$ 在椭圆 $C$ 上，过点 $P$ 的两条直线 $P A, P B$ 分别与椭圆 $C$ 交于另一点 $A, B$ ，且直线 $P A, P B, A B$ 的斜率满足 $k_{P A} + k_{P B} = 4 k_{A B} (k_{A B} \neq 0)$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、证明直线 $A B$ 过定点．

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19. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．
年龄
次数
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60]$
每周0～2次
70
55
36
59
每周3～4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10

(1)、若把年龄在 $[20, 40)$ 的锻炼者称为青年，年龄在 $[40, 60]$ 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；

(2)、从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 $[30, 40)$ 与 $[50, 60]$ 的人数分别为 $X, Y, ξ = | X - Y |$ ，求 $ξ$ 的分布列与期望；

(3)、已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ ，求小明星期天选择跑步的概率．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．
附：
$α$
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{a}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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年龄次数	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60]$
每周0～2次	70	55	36	59
每周3～4次	25	40	44	31
每周5次及以上	5	5	20	10

$α$	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{a}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828