2024年广东省深圳市八年级下册数学期末模拟试卷(一)

试卷更新日期：2024-05-24 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，只有一个是正确的）

1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列各项变形，是因式分解的是（）

A、a（a﹣2）＝a²﹣2a B、a²+4a﹣5＝（a+5）（a﹣1） C、y²﹣1＝y（y﹣ $\frac{1}{y}$ ） D、am+bm+c＝m（a+b）+c

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3. 如果 $a > b$ ，那么下列各式中正确的是（　　）

A、 $a - 3 < b - 3$ B、 $\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$ C、 $- a > - b$ D、 $- 2 a < - 2 b$

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4. 已知等腰三角形的一边长为2，一边的长为6，则此等腰三角形的周长为（）

A、14 B、12 C、10 D、10或14

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5. 下列分式是最简分式的是（　　）

A、 $\frac{3 x}{3 x - 2}$ B、 $\frac{3 a}{6 a + 9 b}$ C、 $\frac{x - 4}{16 - x^{2}}$ D、 $\frac{x y}{x y - x^{2}}$

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6. 下列在数轴上表示的不等式组 ${\begin{array}{l} x \leq 1 \\ x < - 3 \end{array}$ 的解集，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{2 x + 1}{3} \geq x - 1 \\ 2 x > a + 1 \end{array}$ 有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为（）

A、 $- 7$ B、 $- 3$ C、0 D、7

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8. 若分式方程 $\frac{a x}{x - 3} + \frac{3}{3 - x} = 2$ 无解，则 $a$ 的值是（）

A、 $3$ 或 $2$ B、 $1$ C、 $1$ 或 $3$ D、 $1$ 或 $2$

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9. 几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原计划参加旅游的同学共有 $x$ 人，则根据题可列方程（　　）

A、 $\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 2} = 3$ B、 $\frac{180}{x + 2} - \frac{180}{x} = 3$ C、 $\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 3} = 2$ D、 $\frac{180}{x + 3} - \frac{180}{x} = 2$

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10. 如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，其中一定正确的有（）

A、①②③ B、②③④ C、③④⑤ D、②③④⑤

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二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）

11. 分解因式： $3 m^{2} - 3 =$ ．

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12. 已知 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 4$ ，则 $\frac{4 a + 3 a b + 4 b}{5 a b - 2 b - 2 a}$ ＝．

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13. 如图，直线 $y_{1} = - x + a$ 与 $y_{2} = b x - 4$ 相交于点 $P$ ，已知点 $P$ 的坐标为 $(1 ， - 3)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $- x + a \leq b x - 4$ 的解集是。

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14. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ， ∠AOB＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E ，连接OE ，则∠BOE的度数是．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 3 ， B C = 4$ ，把 $△ A B C$ 绕 $B C$ 边的中点O旋转后得 $△ D E F$ ，若直角顶点E恰好落在 $A C$ 边上，且 $D F$ 边交 $A C$ 边于点G，则 $△ F C G$ 的面积为．

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三、解答题（共7题，共55分）

16. 解不等式组： ${\begin{cases} 2 x + 3 < x + 4 \\ \frac{x - 3}{2} \leq \frac{2 x}{3} - 1 \end{cases}$ ，并写出该不等式组的所有整数解．

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17. 化简求值： $[\frac{x + 2}{x (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}] \cdot \frac{x}{x - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（5，4），B（1，1），C（5，1）．
⑴请画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁ ，并写出点A₁的坐标；
⑵以O为对称中心，画出△ABC关于O成中心对称的图形△A'B'C'；
⑶请用无刻度的直尺画出∠ABC的平分线BQ（点Q在线段AC上）（保留作图辅助线）．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D E ⊥ A B$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上，且 $D F = D B$ ．求证： $C F = B E$ ．

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20. 学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．

(1)、求篮球和足球的单价分别为多少元？

(2)、根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的 $\frac{2}{3}$ ，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？

(3)、若学校购买这批篮球和足球的总费用为 $W$ （元 $)$ ，在（2）的条件下，求哪种方案能使总费用 $W$ 最小，并求出 $W$ 的最小值．

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21.
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

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22. 【问题背景】
某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E分别是边 $A B 、 A C$ 上的点，点P是底边 $B C$ 上的点，且 $∠ P D B = ∠ P E C = 90 °$ ，过点B作 $B F ⊥ A C$ 于点F，请写出线段 $P D$ 、 $P E$ 、 $B F$ 之间满足的数量关系式．
同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：
解决思路1：如图2，过点P作 $P G ⊥ B F$ 于点G；
解决思路2：如图3，过点B作 $B H ⊥ P E$ ，交 $E P$ 的延长线于点H；

(1)、上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段 $P D 、 P E 、 B F$ 之间满足的数量关系式为．

(2)、【类比探究】
如图4，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E分别是边 $A B 、 A C$ 上的点，点P是底边 $B C$ 上的点，且 $∠ P D B = ∠ P E C = α$ ，过点B作 $B F ∥ P E$ 交 $A C$ 于点F，请写出线段 $P D 、 P E 、 B F$ 之间满足的数量关系式，并说明理由．

(3)、【拓展应用】
如图5，在 $△ A C P$ 与 $△ B D P$ 中， $∠ A = ∠ B = 75 °$ ， $∠ A P C = ∠ B P D = 60 °$ ，点A、B、P在同一条直线上，若 $A B = 6$ ， $P C = 2$ ，则 $P D =$ ．

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