2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之几何综合

试卷更新日期：2024-05-23 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1.

(1)、如图1， $B P$ 平分 $∠ A B C, M, N$ 分别在射线 $B A, B C$ 上，若 $B M = B N$ ，求证： $P M = P N$ ；

(2)、如图2，在 $△ A B C$ 中， $C P ⊥ C B$ 交边 $A B$ 于点 $P, P H ⊥ A C$ 于点H ．已知 $∠ A C P = ∠ B, C H = 2, A B = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、如图3，在等边 $△ A B C$ 中，点D在边 $A B$ 上，P为 $B A$ 延长线上一点，E为边 $A C$ 上一点，已知 $C A$ 平分 $∠ P C D, ∠ A D E = ∠ C P D, A E = 2, A D = 3$ ，求 $P A$ 的长．

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2. 已知 $R t △ A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，点 $D$ 是 $A C$ 边上一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ，点 $F$ 是 $B D$ 中点，连接 $E F$ ， $C F$ ．

(1)、如图①，线段 $E F$ ， $C F$ 之间的数量关系为， $∠ E F C$ 的度数为；

(2)、如图②，将 $△ A E D$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $α (0 ° < α < 30 °)$ ，请判断线段 $E F$ ， $C F$ 之间的数量关系及 $∠ E F C$ 的度数，并说明理由；

(3)、若 $△ A E D$ 绕点 $A$ 旋转的过程中，当点 $D$ 落到直线 $A B$ 上时，连接 $B E$ ，若 $B C = 3$ ， $A D = 2$ ，请直接写出 $B E$ 的长．

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3. 如图1，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A B = 6$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $P$ 为线段 $B O$ 上的动点（不与点 $B$ ， $O$ 重合），连接 $C P$ 并延长交边 $A B$ 于点 $G$ ，交 $D A$ 的延长线于点 $H$ ．

(1)、当点 $G$ 恰好为 $A B$ 的中点时，求证： $△ A G H ≌ △ B G C$ ；

(2)、求线段 $B D$ 的长；

(3)、当 $△ A P H$ 为直角三角形时，求 $\frac{H P}{P C}$ 的值；

(4)、如图2，作线段 $C G$ 的垂直平分线，交 $B D$ 于点 $N$ ，交 $C G$ 于点 $M$ ，连接 $N G$ ，在点 $P$ 的运动过程中， $∠ C G N$ 的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

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4. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ ，以边 $A C$ 为直径作 $⊙ O$ ，与 $A B$ 边交于点 $D$ ，点 $M$ 为边 $B C$ 的中点，连接 $D M$ ．

(1)、求证： $D M$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、点 $P$ 为直线 $B C$ 上任意一动点，连接 $A P$ 交 $⊙ O$ 于点 $Q$ ，连接 $C Q$ ．
$①$ 当 $t a n ∠ B A P = \frac{1}{3}$ 时，求 $B P$ 的长；

$②$ 求 $\frac{C Q}{A P}$ 的最大值．

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5. 已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，N为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连接 $O N$ 交 $A C$ 于点H ．

(1)、如图①，求证 $B C = 2 O H$ ；

(2)、如图②，点D在 $⊙ O$ 上，连接 $D B$ ， $D O$ ， $D C$ ， $D C$ 交 $O H$ 于点E ，若 $D B = D C$ ，求证 $O D ∥ A C$ ；

(3)、如图③，在（2）的条件下，点F在 $B D$ 上，过点F作 $F G ⊥ D O$ ，交 $D O$ 于点G ． $D G = C H$ ，过点F作 $F R ⊥ D E$ ，垂足为R ，连接 $E F$ ， $E A$ ， $E F ： D F = 3 ： 2$ ，点T在 $B C$ 的延长线上，连接 $A T$ ，过点T作 $T M ⊥ D C$ ，交 $D C$ 的延长线于点M ，若 $F R = C M ， A T = 4 \sqrt{2}$ ，求 $A B$ 的长．

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6. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD ．

[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M ．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P ， N（如图3），发现线段DN ， MN ， PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

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7.
已知正方形 $Α Β CD$ 的对角线 $Α C$ ， $Β D$ 相交于点 $Ο$ ．

(1)、如图1， $Ε$ ， $G$ 分别是 $Ο Β$ ， $Ο C$ 上的点， $C Ε$ 与 $DG$ 的延长线相交于点 $F$ ．若 $DF ⊥ C Ε$ ，求证： $Ο Ε = Ο G$ ；

(2)、如图2， $Η$ 是 $Β C$ 上的点，过点 $Η$ 作 $Ε Η ⊥ Β C$ ，交线段 $Ο Β$ 于点 $Ε$ ，连结 $D Η$ 交 $C Ε$ 于点 $F$ ，交 $Ο C$ 于点 $G$ ．若 $Ο Ε = Ο G$ ，
①求证： $∠ Ο DG = ∠ Ο C Ε$ ；
②当 $Α Β = 1$ 时，求 $Η C$ 的长．

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二、实践探究题

8. 已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点.

① ② ③

(1)、【建立模型】
如图①所示，连接BE，DE.求证：BE=DE；

(2)、【模型应用】
如图②所示，F是DE延长线上一点，EF交AB于点G，FB⊥BE，判断△FBG的形状，并说明理由；

(3)、【模型迁移】
如图③所示，F是DE延长线上一点，EF交AB于点G，FB⊥BE，BE=BF，求证：GE=( $\sqrt{2}$ -1)DE.

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9. 【问题呈现】
$△ C A B$ 和 $△ C D E$ 都是直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 ° ， C B = m C A ， C E = m C D$ ，连接 $A D$ ， $B E$ ，探究 $A D$ ， $B E$ 的位置关系．

(1)、如图1，当 $m = 1$ 时，直接写出 $A D$ ， $B E$ 的位置关系：；

(2)、如图2，当 $m \neq 1$ 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

(3)、【拓展应用】
当 $m = \sqrt{3} ， A B = 4 \sqrt{7} ， D E = 4$ 时，将 $△ C D E$ 绕点C旋转，使 $A ， D ， E$ 三点恰好在同一直线上，求 $B E$ 的长．

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10.

(1)、【特例感知】
如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD ，过点D作DM⊥PD ，交BC的延长线于点M ．求证：△DAP≌△DCM ．

(2)、【变式求异】
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB ，交AC于点Q ，点P在边AB的延长线上，连结PQ ，过点Q作QM⊥PQ ，交射线BC于点M ．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB ，求 $\frac{P Q}{Q M}$ 的值．

(3)、【拓展应用】
如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A ， C重合），连结PQ ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC ， ∠PQM的边QM交射线BC于点M ．若AC＝mAB ， CQ＝nAC（m ， n是常数），求 $\frac{P Q}{Q M}$ 的值（用含m ， n的代数式表示）．

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11. 【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $O$ 又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} O$ 绕点 $O$ 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 $\frac{1}{4}$ ．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $P$ 落在线段 $O C$ 上， $\frac{P A}{P C} = k (k$ 为常数）．

(1)、【特例证明】
如图1，将 $R t Δ P E F$ 的直角顶点 $P$ 与点 $O$ 重合，两直角边分别与边 $A B$ ， $B C$ 相交于点 $M$ ， $N$ ．
①填空： $k =$ ▲ ；
②求证： $P M = P N$ ．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明 $Δ P A M ≅ Δ P B N$ ；也可过点 $P$ 分别作 $A B$ ， $B C$ 的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②． $)$

(2)、【类比探究】
如图2，将图1中的 $Δ P E F$ 沿 $O C$ 方向平移，判断 $P M$ 与 $P N$ 的数量关系（用含 $k$ 的式子表示），并说明理由．

(3)、【拓展运用】
如图3，点 $N$ 在边 $B C$ 上， $∠ B P N = 45 °$ ，延长 $N P$ 交边 $C D$ 于点 $E$ ，若 $E N = k P N$ ，求 $k$ 的值．

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12. 【问题情境】如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A C B = α$ ．点D在边 $B C$ 上将线段 $D B$ 绕点D顺时针旋转得到线段 $D E$ （旋转角小于 $180 °$ ），连接 $B E$ ， $C E$ ，以 $C E$ 为底边在其上方作等腰三角形 $F E C$ ，使 $∠ F C E = α$ ，连接 $A F$ ．

(1)、【尝试探究】
如图1，当 $α = 60 °$ 时，易知 $A F = B E$ ；
如图2，当 $α = 45 °$ 时，则 $A F$ 与 $B E$ 的数量关系为；

(2)、如图3，写出 $A F$ 与 $B E$ 的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；

(3)、【拓展应用】
如图4，当 $α = 30 °$ ，且点B ， E ， F三点共线时．若 $B C = 4 \sqrt{7}$ ， $B D = \frac{1}{5} B C$ ，请直接写出 $A F$ 的长．

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13. 【阅读理解】如图1，在矩形 $A B C D$ 中，若 $A B = a ， B C = b$ ，由勾股定理，得 $A C^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，同理 $B D^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，故 $A C^{2} + B D^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ ．

(1)、
【探究发现】如图2，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，若 $A B = a ， B C = b$ ，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．

(2)、
【拓展提升】如图3，已知 $B O$ 为 $△ A B C$ 的一条中线， $A B = a ， B C = b ， A C = c$ ．求证： $B O^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}$ ．

(3)、
【尝试应用】如图4，在矩形 $A B C D$ 中，若 $A B = 8 ， B C = 12$ ，点P在边 $A D$ 上，则 $P B^{2} + P C^{2}$ 的最小值为．

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14. 综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， $A E ⊥ E P$ ，EP与正方形的外角 $△ D C G$ 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

(1)、【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

(2)、【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P = 90 °$ ，连接CP，可以求出 $∠ D C P$ 的大小，请你思考并解答这个问题．

(3)、【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P = 90 °$ ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 $△ A D P$ 周长的最小值．当 $A B = 4$ 时，请你求出 $△ A D P$ 周长的最小值．

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15.

(1)、【探究发现】如图①所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $C D$ 边于 $G$ 点．求证： $△ B F G ≌ △ B C G$

(2)、【类比迁移】如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，且 $A D = 8 ， A B = 6 ，$ 将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $B C$ 边于点 $G ，$ 延长 $B F$ 交 $C D$ 边于点 $H ，$ 且 $F H = C H ，$ 求 $A E$ 的长．

(3)、【拓展应用】如图③，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 边上的三等分点， $∠ D = 60 ° ，$ 将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 翻折得到 $△ A F E$ ，直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $P ，$ 求 $C P$ 的长．

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16. 华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.

2.如图，在正方形ABCD中， $C E ⊥ D F$ .求证： $C E = D F$ .

证明：设CE与DF交于点O，

∵四边形ABCD是正方形，

∴ $∠ B = ∠ D C F = 90 °$ ， $B C = C D$ .

∴ $∠ B C E + ∠ D C E = 90 °$ .

∵ $C E ⊥ D F$ ，

∴ $∠ C O D = 90 °$ .

∴ $∠ C D F + ∠ D C E = 90 °$ .

∴ $∠ C D F = ∠ B C E$ .

∴ $△ C B E ≌ △ D F C$ .

∴ $C E = D F$ .

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究

(1)、【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且

E G ⊥ F H

.试猜想

\frac{E G}{F H}

的值，并证明你的猜想.

(2)、【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，

A B = m

，

B C = n

，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且

E G ⊥ F H

.则

\frac{E G}{F H} =

(3)、【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，

∠ D A B = 90 °

，

∠ A B C = 60 °

，

A B = B C

，点E、F分别在线段AB、AD上，且

C E ⊥ B F

.求

\frac{C E}{B F}

的值.

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17.

(1)、【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．

(2)、【尝试应用】
如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求 $\frac{D E}{B C}$ 的值．

(3)、【拓展提高】
如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．

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18. 如图，

(1)、【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.
求证： $△ B C E ≌ △ C D G$ .

(2)、【运用】
如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若 $\frac{H D}{H F} = \frac{4}{5}$ ， $C E = 9$ ，求线段DE的长.

(3)、【拓展】
将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 $\frac{A B}{B C} = k$ ， $\frac{H D}{H F} = \frac{4}{5}$ ，求 $\frac{D E}{E C}$ 的值（用含k的代数式表示）.

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19. 如图

(1)、【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证： $A C^{2} = A D \cdot A B$ .

(2)、【尝试应用】
如图2，在 $▱ A B C D$ 中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A.若BF=4，BE=3，求AD的长.

(3)、【拓展提高】
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC=2EF， $∠ E D F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，AE=2，DF=5，求菱形ABCD的边长.

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三、综合题

20. 如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K．

(1)、若点M的坐标为（3，4），
①求A，B两点的坐标；
②求ME的长．

(2)、若 $\frac{O K}{M K}$ =3，求∠OBA的度数．

(3)、设tan∠OBA=x（0＜x＜1）， $\frac{O K}{M K}$ =y，直接写出y关于x的函数解析式．

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21.

(1)、[问题探究]
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O．在线段 $A O$ 上任取一点P（端点除外），连接 $P D 、 P B$ ．

①求证： $P D = P B$ ；

②将线段 $D P$ 绕点P逆时针旋转，使点D落在 $B A$ 的延长线上的点Q处．当点P在线段 $A O$ 上的位置发生变化时， $∠ D P Q$ 的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究 $A Q$ 与 $O P$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、[迁移探究]
如图2，将正方形 $A B C D$ 换成菱形 $A B C D$ ，且 $∠ A B C = 60 °$ ，其他条件不变．试探究 $A Q$ 与 $C P$ 的数量关系，并说明理由．

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22. 如图1，点 $G$ 为等边 $△ A B C$ 的重心，点 $D$ 为 $B C$ 边的中点，连接 $G D$ 并延长至点 $O$ ，使得 $D O = D G$ ，连接 $G B$ ， $G C$ ， $O B$ ， $O C$

(1)、求证：四边形 $B O C G$ 为菱形．

(2)、如图2，以 $O$ 点为圆心， $O G$ 为半径作 $⊙ O$
①判断直线 $A B$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并予以证明．
②点 $M$ 为劣弧 $B C$ 上一动点（与点 $B$ 、点 $C$ 不重合），连接 $B M$ 并延长交 $A C$ 于点 $E$ ，连接 $C M$ 并延长交 $A B$ 于点 $F$ ，求证： $A E + A F$ 为定值．

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23. 综合与实践
问题背景

数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 $36 °$ 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现

如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 36 °$ ， $A B = A C$ ．

(1)、操作发现：将 $△ A B C$ 折叠，使边 $B C$ 落在边 $B A$ 上，点 $C$ 的对应点是点 $E$ ，折痕交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $D E$ ， $D B$ ，则 $∠ B D E =$ $°$ ，设 $A C = 1$ ， $B C = x$ ，那么 $A E =$ （用含 $x$ 的式子表示）；

(2)、进一步探究发现： $\frac{底 B C}{腰 A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明： $\frac{底 B C}{腰 A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ；
拓展应用：

当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的 $△ A B C$ 是黄金三角形．如图2，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 72 °$ ， $A B = 1$ ．求这个菱形较长对角线的长．

(3)、
拓展应用：

当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的 $△ A B C$ 是黄金三角形．如图2，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 72 °$ ， $A B = 1$ ．求这个菱形较长对角线的长．

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24. 综合与实践．

(1)、提出问题 $.$ 如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，且 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，连接 $B D$ ，连接 $C E$ 交 $B D$ 的延长线于点 $O$ ．
      $① ∠ B O C$ 的度数是．
      $② B D$ ： $C E =$ ．

(2)、类比探究 $.$ 如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ B A C = ∠ E D C = 90 °$ ，且 $A B = A C$ ， $D E = D C$ ，连接 $A D$ 、 $B E$ 并延长交于点 $O$ ．
      $① ∠ A O B$ 的度数是；
      $② A D$ ： $B E =$   ．

(3)、问题解决 $.$ 如图 $3$ ，在等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ 上 $($ 不与 $A$ 重合 $)$ ，以 $A E$ 为边在 $A D$ 的左侧构造等边 $△ A E F$ ，将 $△ A E F$ 绕着点 $A$ 在平面内顺时针旋转任意角度 $.$ 如图 $4$ ， $M$ 为 $E F$ 的中点， $N$ 为 $B E$ 的中点．
      $①$ 说明 $△ M N D$ 为等腰三角形．

      $②$ 求 $∠ M N D$ 的度数．

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