2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之测量类应用

试卷更新日期：2024-05-22 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 如图，将一个 $R t △ A B C$ 形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为 $10 °$ ，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（）

A、 $5 s i n 10 °$ 厘米 B、 $5 c o s 10 °$ 厘米 C、 $5 t a n 10 °$ 厘米 D、 $\frac{5}{t a n 10 °}$ 厘米

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2. 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m ，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m ，那么相邻两棵树间的坡面距离为（　　）

A、2.5m B、5m C、 $\sqrt{29} m$ D、10m

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3. 如图，天定山滑雪场有一坡角为 $18 °$ 的滑雪道，滑雪道 $A C$ 长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度 $A B$ 的长为（）

A、 $150 t a n 18 °$ 米 B、 $150 s i n 18 °$ 米 C、 $\frac{150}{c o s 18 °}$ 米 D、 $\frac{150}{t a n 18 °}$ 米

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4. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知 $B C = 6 m$ ， $∠ A B C = α$ ，则房顶 $A$ 离地面 $E F$ 的高度为（）

A、 $（ 4 + 3 s i n α ） m$ B、 $（ 4 + 3 t a n α ） m$ C、 $(4 + \frac{3}{s i n α}) m$ D、 $(4 + \frac{3}{t a n α}) m$

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5. 如图①，将一个楔子Rt $△ A B C$ 从木桩的底端点 $P$ 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为 $10^{\circ}$ ，楔子沿水平方向前进 $6 c m$ （如图②），那么木桩上升的高度为（）

A、 $6 s i n 10^{\circ} c m$ B、 $6 c o s 10^{\circ} c m$ C、 $6 t a n 10^{\circ} c m$ D、 $\frac{6}{t a n 10^{\circ}} c m$

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6. 如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度AB为60cm，桌面平放时高度DE为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角 $(∠ A B C)$ 的度数为 $α$ ，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（）

A、 $(60 s i n α + 70) c m$ B、 $(60 c o s α + 70) c m$ C、 $(60 t a n α + 70) c m$ D、 $130 c m$

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7. 某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若∠ACB=130°，AC=BC=1.2m，CD 与地面垂直且CD=6m，则灯顶 A 到地面的高度为（）

A、 $(6 + 1.2 s i n 25 °) m$ B、 $(6 + 1.2 c o s 25 °) m$ C、 $(6 + \frac{1.2}{s i n 25 °}) m$ D、 $(6 + \frac{1.2}{c o s 25 °}) m$

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8. “圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 3$ 米，测得某地夏至正午时“表”的影长 $C D = 1$ 米，冬至时的正午太阳高度角 $∠ A B C = α$ ，则夏至到冬至，影长差 $B D$ 的长为（）

A、 $(3 s i n α - 1)$ 米 B、 $(\frac{3}{s i n α} - 1)$ 米 C、 $(3 t a n α - 1)$ 米 D、 $(\frac{3}{t a n α} - 1)$ 米

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9. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面 $A B C D$ 是梯形，其中 $A D ∥ B C$ ， $A B = D C$ ，燕尾角 $∠ B = α$ ，外口宽 $A D = a$ ，榫槽深度是 $b$ ，则它的里口宽 $B C$ 为（）

A、 $\frac{b}{t a n α} + a$ B、 $\frac{2 b}{t a n α} + a$ C、 $b t a n α + a$ D、 $2 b t a n α + a$

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10. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角 $∠ A B D = 45 °$ ，再沿 $B D$ 方向前进至C处测得最高点A的仰角 $∠ A C D = 60 °$ ， $B C = 15.3 m$ ，则灯塔的高度 $A D$ 大约是（）（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

A、 $31 m$ B、 $36 m$ C、 $42 m$ D、 $53 m$

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11. 一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4 $\sqrt{3}$ cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2 $\sqrt{30}$ cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（）

A、 $7 \sqrt{3} c m$ B、12cm C、 $8 \sqrt{3} c m$ D、14cm

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二、填空题

12. 如图，ED 为一条宽为 $4 m$ 的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为 $3 m$ （即 $C E$ $= 3 m$ ）．因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点 $P$ 作为另一端的固定点．已知吊篮的截面为直径为 $1 m$ 的半圆（直径 $M N = 1 m$ ），绳子 $Q M = Q N = 1.3 m$ ，钢架高度为 $2.2 m （ A B = 2.2 m ）$ ，距离防洪堤边缘为 $0.5 m （ B C = 0.5 m ）$ ．

(1)、西岸边缘点 $C$ 与东岸边缘点 $D$ 之间的距离为 $m$ ．

(2)、滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点 $C$ ，则 $D P$ 的长应大于 $m$ ．

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13. 阅读材料：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 22.5 °$ ，求 $t a n 22.5 °$ 的值．
解题思路：在 $C B$ 上截取 $C D = C A$ ，再连接 $A D$ ，可证 $△ A D B$ 为等腰三角形，设 $A C = C D = a$ ，则 $A D = B D = \sqrt{2} a$ ，则 $t a n 22.5 ° =$ ， $t a n 15 ° =$ ．

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14. 图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架 $A B - C E - E F$ 和两个大小相同的车轮组成，已知 $C D = 20 c m ， D E = 15 c m ， s i n ∠ A C D = \frac{4}{5}$ ，当 $A ， E ， F$ 在同一水平高度上时， $∠ C E F = 135 °$ ，则 $A C =$ $c m$ ；为方便存放，将车架前部分绕着点 $D$ 旋转至 $A B ∥ E F$ ，如图3所示，则 $d_{1} - d_{2}$ 为 $c m$ ．

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三、解答题

15. 某校学生利用课余时间，使用卷尺和测角仪测量某公园古城门的高度．如图所示，他们先在公园广场点M处架设测角仪，测得古城门最高点A的仰角为22°，然后前进20m到达点N处，测得点A的仰角为45°；已知测角仪的高度为1.4m ．求古城门最高点A距离地面的高度．（结果精确到0.1m；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

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16. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转 $\frac{5}{6}$ 圈，筒车与水面分别交于点A、B ，筒车的轴心O距离水面的高度OC为2.2m ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒P刚浮出水面（点A）时开始计算时间．

(1)、求盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程；

(2)、求浮出水面3.4秒时，盛水筒P到水面的距离；

(3)、若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M ， MO＝8m ，直接写出盛水筒P从最高点开始，经过多长时间恰好第一次落在直线MN上．（参考数据：cos43°＝sin47°≈ $\frac{11}{15}$ ， sin16°＝cos74°≈ $\frac{11}{40}$ ， sin22°＝cos68°≈ $\frac{3}{8}$ ）

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17. 某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度 $A B$ ，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪 $C D$ 测得塔顶A的仰角为 $37 °$ ，然后沿 $C B$ 方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为 $45 °$ ．请根据他们的测量数据求塔高 $A B$ 的长度大约是多少．（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $s i n 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $c o s 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $t a n 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ．）

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18. 嵩岳寺塔，位于登封市区西北5公里嵩山南麓峻极峰下嵩岳寺内，是嵩岳寺内唯一的北魏遗存建筑，也是中国现存最古老的砖塔，它见证了这座寺院的千年历史．小明想知道塔的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了11.8米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮他求出嵩岳寺塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈ $\frac{3}{5}$ ， cos37°≈ $\frac{4}{5}$ ， tan37°≈ $\frac{3}{4}$ ）

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四、实践探究题

19. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图①所示．

(1)、如图 ②，在点 $P$ 观察所测物体最高点 $C$ ，当量角器零刻度线上 $A ， B$ 两点均在视线 $P C$ 上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 $α$ ，设仰角为 $β$ ，请直接用含 $α$ 的代数式表示 $β$ ．

(2)、如图③，为了测量广场上空气球 $A$ 离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点 $B ， C$ 分别测得气球 $A$ 的仰角 $∠ A B D$ 为 $37^{\circ} ， ∠ A C D$ 为 $45^{\circ}$ ，地面上点 $B ， C ， D$ 在同一水平直线上， $B C = 20 m$ ，求气球 $A$ 离地面的高度 $A D$ ．
（参考数据： $s i n 37^{\circ} \approx 0.60 ， c o s 37^{\circ} \approx 0.80 ， t a n 37^{\circ} = 0.75)$

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20. 问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图 38-1①是搭成的 “倍力桥”，纵梁 $a ， c$ 夹住横梁 $b$ ，使得横梁不能移动，结构稳固．
图 38-1②是长为 $l （ c m ）$ ，宽为 $3 c m$ 的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为 $1 c m$ 的半圆，圆心分别为 $O_{1} ， O_{2} ， O_{3} ， O_{1} M =$ $O_{1} N ， O_{2} Q = O_{3} P = 2 c m$ ，纵梁是底面半径为 $1 c m$ 的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．

(1)、探究 1：图 38-1③是 “桥”侧面示意图， $A ， B$ 为横梁与地面的交点， $C ， E$ 为圆心， $D ， H_{1}$ ， $H_{2}$ 是横梁侧面两边的交点，测得 $A B =$ $32 c m$ ，点 $C$ 到 $A B$ 的距离为 $12 c m$ ，试判断四边形 $C D E H_{1}$ 的形状，并求 $l$ 的值．

(2)、探究 2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
①若有 12 根横梁绕成环，图 38-1④是其侧面示意图，内部形成十二边形 $H_{1} H_{2}$ $H_{3} \dots H_{12}$ ，求 $l$ 的值．
②若有 $n$ 根横梁绕成的环（ $n$ 为偶数，且 $n ⩾$ $6 ）$ ，试用关于 $n$ 的代数式表示内部形成的多边形 $H_{1} H_{2} H_{3} \dots H_{n}$ 的周长．

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21. 一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A^'B^'C^'D^'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE＝α，如图所示）．
探究：如图1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB^'交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．

(1)、解决问题：CQ与BE的位置关系是， BQ的长是dm ， α＝°（注：sin49°＝cos41° $= \frac{3}{4}$ ， tan37° $= \frac{3}{4}$ ）

(2)、求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液＝底面积SBCQ×高AB）

(3)、在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱C^'C或CB交于点P、点Q始终在棱BB^'上，设PC＝x ， BQ＝y ，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．

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22. 【阅读理解】：如图，在 $R t △ A B C$ 中，a，b，c分别是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边， $∠ C = 90 °$ ，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义： $s i n A = \frac{a}{c}$ ， $s i n B = \frac{b}{c}$ ，可得 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = c = 2 R$ ，即 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R$ （规定 $s i n 90 ° = 1$ ）．

(1)、【探究活动】：如图，在锐角 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边，其外接圆半径为R，那么： $\frac{a}{s i n A}$ $\frac{b}{s i n B}$ $\frac{c}{s i n C}$ （用>，=或<连接），并说明理由．

(2)、【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在 $∠ A B C$ 中，a，b，c分别是 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边．已知 $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $b = \sqrt{2}$ ，求 $c$ ．

(3)、【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼 $A B$ 的高度，在A处用测角仪测得地面点C处的俯角为45°，点D处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼 $A B$ 的高度．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $s i n 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ ）

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