2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之旋转问题

试卷更新日期：2024-05-22 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，在△ABC中，AB<AC，将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F，则下列结论中错误的是（）

A、△AFE∽△DFC B、AD=AF C、DA平分∠BDE D、∠CDF=∠BAD

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3. 如图，已知 $A C$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线，以点 $D$ 为旋转中心将 $△ A D C$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ F D E$ ， $B$ ， $F$ ， $E$ 三点恰好在同一条直线上，设 $A C$ 与 $B E$ 相交于点 $G$ ，连结 $D G .$ 有以下结论： $① A C ⊥ B E$ ； $② △ B C G$ ∽ $△ G A D$ ； $③ F$ 是线段 $C D$ 的黄金分割点； $④ C G + \sqrt{2} D G = E G .$ 其中正确的是( )

A、 $①$ B、 $① ③$ C、 $② ④$ D、 $① ③ ④$

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4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝105°，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转到△ $A^{'} B^{'} C$ ， $A^{'} B^{'}$ 经过点 A ．若 $A B^{'}$ ＝AC ，则∠B的度数为（　　）

A、20° B、25° C、30° D、35°

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5. 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，则CD的长为（　　）

A、3 $\sqrt{2}$ B、4 C、2 $\sqrt{5}$ D、2 $\sqrt{13}$

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6. 如图，把 $△ A B C$ 以点A为中心逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在 $B C$ 的延长线上，连接 $B D$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $∠ C A E = ∠ B E D$ B、 $A B = A E$ C、 $∠ A C E = ∠ A D E$ D、 $C E = B D$

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 80 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转得到 $△ E D C$ ，使点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $A B$ 边上， $A C$ 、 $E D$ 交于点 $F$ ．若 $∠ B C D = α$ ，则 $∠ E F C$ 的度数是（）（用含 $α$ 的代数式表示）

A、 $80 ° + \frac{3}{2} α$ B、 $170 ° + \frac{3}{2} α$ C、 $170 ° - \frac{3}{2} α$ D、 $\frac{3}{2} α$

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8. 如图，将矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转到矩形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ 的位置，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ．若 $∠ 1 = 112 °$ ，则 $∠ α$ 的大小是（）

A、68° B、22° C、28° D、20°

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9. 如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB ，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN ，连结HN ．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）

A、6 B、3 C、2 D、1.5

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10. 如图，矩形ABCD中，AB＝2 $\sqrt{3}$ ，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（）

A、4 $\sqrt{3}$ +3 B、2 $\sqrt{21}$ C、2 $\sqrt{3}$ +6 D、4 $\sqrt{5}$

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11. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 2 0^{∘}$ ， $∠ A B C = 3 0^{∘}$ ，将 $△ A B C$ 绕 $A$ 点逆时针旋转 $5 0^{∘}$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，以下结论：① $B C = B^{'} C^{'}$ ， ② $A C / / C' B^{'}$ ， ③ $C^{'} B^{'} ⊥ B B^{'}$ ， ④ $∠ A B B^{'} = ∠ A C C'$ ，正确的有（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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12. 如图1，在Rt△ABC中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D ， E分别在边AB ， AC上， $A D = A E$ ，连接DC ，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．将△ADE绕点A在平面内自由旋转（如图2），若 $A D = 4$ ， $A B = 10$ ，则△PMN面积的最大值是（）

A、 $\frac{49}{4}$ B、18 C、 $\frac{49}{2}$ D、 $\frac{25}{2}$

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13. 如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG.延长AE交CG于点F，连接DE.下列结论：①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形，③若DA＝DE，则CF＝FG；其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①② C、②③ D、①③

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14. 如图，O是正 $△ A B C$ 内一点， $O A = 2 \sqrt{7}$ ， $O B = 6$ ， $O C = 8$ ， $∠ B O C = 90 °$ ，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 $B O^{'}$ ，下列结论：①点O与 $O^{'}$ 的距离为6；② $∠ A O C = 120 °$ ；③ $S_{△ A O B} = 3 \sqrt{7}$ ；④ $S_{四边形 A O B O^{'}} = 6 \sqrt{7} + 6 \sqrt{3}$ ；⑤点P为 $△ A B C$ 内一点，则点P到 $△ A B C$ 三个顶点的距离和最小为 $10 \sqrt{3}$ .其中正确的结论是（）

A、①②③⑤ B、①③④ C、②③④⑤ D、①②⑤

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15. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将矩形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转得矩形AEFG，连接BE，当EF刚好经过点D时，线段BE的长是（）

A、 $\frac{3}{5} \sqrt{7}$ B、 $\frac{3}{5} \sqrt{10}$ C、 $\frac{3}{5} \sqrt{11}$ D、 $\frac{3}{5} \sqrt{13}$

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二、填空题

16. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，点D在BC边上，将点A绕点D顺时针旋转90°得到点E，连接DE，CE．当△DCE是等腰三角形时，BD的长为．

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17. 已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 5$ ，将 $△ C B A$ 绕点 $C$ 顺时针旋转得到 $△ C M N$ ， $C M$ 与 $B D$ 交于点 $P$ ， $C N$ 与 $A D$ 交于点 $E$ ，当点 $B$ 的对应点 $M$ 落在线段 $A D$ 上时，线段 $M E$ 的长是．

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18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A₁B₁C，满足A₁B₁∥AC，过点B作BE⊥A₁C，垂足为E，连接AE，若S_△_ABE＝3S_△_ACE ，则AB的长为．

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19. 如图，已知△ABC ， ∠ABC＜60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE ， DE与BC交于点P ．下列结论：
①∠EPC＝60°；
②AC与DE互相平分；
③PA+PC＝PE；
④PA平分∠BPE ，其中正确结论的是．

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20. 如图，点P是在正△ABC内一点．PA＝6，PB＝8，PC＝10，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP′ ，连结．P′P ， P′C ，四边形APCP′的面积为， S_△_APB＋S_△_BPC＝．

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21. 如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC ， ∠B＝30°，△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∠E＝30°，AD＝AB ．将△ADE绕点A旋转，AD、AE分别交BC于点F ， G ，当∠AGB＝75°时， $\frac{F G}{D E} =$ ．

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22. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4 \sqrt{3}$ ， $B C = 6$ ，将 $Rt △ A B C$ 绕点B逆时针旋转 $60 °$ 至 $△ E B D$ ，连接 $A D$ ，则线段 $A D =$ ．

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 4$ ，线段 $B C$ 绕点 $B$ 旋转到 $B D$ ，连 $A D$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，连接 $C E$ ，则 $C E$ 的最大值是．

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三、解答题

24. 如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α . F$ 为 $B C$ 的中点，点 $D$ 在线段 $B F$ 上 $.$ 以点 $A$ 为中心，将线段 $A D$ 逆时针旋转 $α$ 得到线段 $A E$ ，连接 $C E$ ， $D E$ ．

(1)、求证： $A C$ 平分 $∠ E C B$ ；

(2)、如图 $2$ ， $G$ 为 $D E$ 的中点，连接 $F G .$ 试判断 $F G$ 与 $A C$ 的位置关系，并说明理由；

(3)、如图 $3$ ，若 $α = 60 °$ ， $A B = 3 \sqrt{2}$ ，连接 $B E$ ，试说明 $△ A B E$ 的面积是一个定值，并求出该定值．

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25. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ ．

(1)、如图 $1$ ，将线段 $C D$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $C F$ ，连接 $A F$ 交 $C D$ 于点 $G .$ 求证： $A G = G F$ ；

(2)、如图 $2$ ，点 $E$ 是线段 $C B$ 上一点 $(C E < \frac{1}{2} C B) .$ 连接 $E D$ ，将线段 $E D$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $E F$ ，连接 $A F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ．
$①$ 求证： $A G = G F$ ；
$②$ 若 $A C = B C = 7$ ， $C E = 2$ ，求 $D G$ 的长．

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26. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 5 ， B C = 3$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，其中点 $A ， C$ 的对应点分别为点 $A^{'} ， C^{'}$ ．

(1)、如图1，当点 $A^{'}$ 落在 $A C$ 的延长线上时，则 $A A^{'}$ 的长为；

(2)、如图2，当点 $C^{'}$ 落在 $A B$ 的延长线上时，连接 $C C^{'}$ ，交 $A^{'} B$ 于点 $M$ ，求 $B M$ 的长；

(3)、如图3，连接 $A A^{'} ， C C^{'}$ ，直线 $C C^{'}$ 交 $A A^{'}$ 于点 $D$ ，若E为AC的中点，连接 $D E$ ．在旋转过程中， $D E$ 是否存在最小值？若存在，请直接写出 $D E$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

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27. 在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 边上一点，连接 $A D$ ．

(1)、如图 $1$ ，若 $∠ C A D = 30 °$ ， $C D = 2$ ，求 $A B$ 的长；

(2)、如图 $2$ ，将 $△ A B C$ 的边 $A C$ 绕点 $C$ 在同一平面内顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A E C$ ， $F$ 为 $A E$ 延长线上一点，连接 $C F .$ 若 $E F = B D$ ， $∠ E C F = ∠ B A D$ ，求证： $A B = 2 C D$ ；

(3)、如图 $3$ ，在 $(1)$ 的条件下， $M$ 为射线 $A B$ 上一动点，连接 $C M$ ， $D M$ ，将 $△ C D M$ 沿 $C M$ 翻折，得到 $△ M C D'$ ，连接 $A D'$ ， $N$ 为 $A D'$ 的中点，连接 $B N$ ，当 $B N$ 的长度最小时，请直接写出 $\frac{A M}{B M}$ 的值．

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四、实践探究题

28. 如图

(1)、观察猜想：
如图1，在直角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D为 $B C$ 边上一动点（与点B不重合），连接 $A D$ ，将 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 到 $△ A C E$ ，那么 $C E$ 、 $B D$ 之间的位置关系为，数量关系为；

(2)、数学思考：
如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 90 °$ ， $A B = A C$ ， D、E为 $B C$ 上两点，且 $∠ D A E = 45 °$ ，求证： $B D^{2} + C E^{2} = D E^{2}$ ．

(3)、拓展延伸：
如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 120 °$ ， $A B = A C$ ， $∠ D A E = 60 °$ ，若以 $B D$ 、 $D E$ 、 $E C$ 为边的三角形是以 $B D$ 为斜边的直角三角形，当 $B D = 2$ 时，求 $D E$ 的长．

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29. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC ， P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AG于点M ，得到△APM ．

(1)、【问题发现】如图1，当n＝1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为；

(2)、【类比探究】如图2，当n＝2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM ， BP ，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；

(3)、【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB＝4，AP＝2，当△APM绕点A顺时针旋转至B ， P ， M三点共线时，请直接写出线段BM的长．

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30.

(1)、【方法尝试】
如图1，矩形 $A B F C$ 是矩形 $A D G E$ 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转 $90 °$ 所得的图形， $C B 、 E D$ 分别是它们的对角线．则 $C B$ 与 $E D$ 数量关系，位置关系；

(2)、【类比迁移】
如图2，在 $R t △ A B C$ 和 $R t △ A D E$ 中， $∠ B A C ＝ ∠ D A E = 90 ° ， A C = 9 ， A B = 6 ， A E = 3 ， A D = 2$ ．将 $△ D A E$ 绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角 $∠ B A E$ 为α（ $0 ° \leq α < 360 °$ ），连接 $C E ， B D$ ．请判断线段 $C E$ 和 $B D$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】
如图3，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 6$ ，过点A作 $A P ∥ B C$ ，在射线 $A P$ 上取一点D，连接 $C D$ ，使得 $t a n ∠ A C D = \frac{3}{4}$ ，请求线段 $B D$ 的最大值．

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