辽宁抚顺市顺城区2024年九年级数学第二次模考试卷

试卷更新日期：2024-05-22 类型：中考模拟

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 如果高于海平面 $100 m$ 记作 $+ 100 m$ ，那么低于海平面 $50 m$ 应该记作（）

A、 $+ 50 m$ B、 $- 50 m$ C、 $\frac{1}{50} m$ D、 $- 100 m$

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2. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所，以下是我国四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）

A、圆柱体 B、正方体 C、圆锥体 D、球体

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $5 a - 2 a = 3$ B、 $- a \cdot a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$

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5. 关于一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的根的情况，下列说法正确的是（）

A、只有一个实数根 B、没有实数根 C、有两个不相等的实数根 D、有两个相等的实数根

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6. 某地区4月上旬前5天的最高气温如下（单位 $℃$ ）：9，11，14，14，15．这组数据的中位数是（）

A、10 B、12.5 C、14 D、15

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7. 某中学组织全校优秀九年级毕业生参加学校夏令营，一共有x名学生，分成y个学习小组、若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人．若求夏令营学生的人数所列的方程组为（）

A、 ${\begin{cases} 10 x = y - 5 \\ 9 x = y + 3 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 10 x = y + 5 \\ 9 x = y - 3 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 10 y = x - 5 \\ 9 y = x + 3 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 10 y = x + 5 \\ 9 y = x - 3 \end{cases}$

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8. 如图，水面 $M N$ 与底面 $E F$ 平行，光线 $A B$ 从空气射入水里时发生了折射，折射光线 $B C$ 射到水底C处，点D在 $A B$ 的延长线上，若 $∠ 1 = 67 °$ ， $∠ 2 = 45 °$ ，则 $∠ D B C$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $22 °$ C、 $32 °$ D、 $45 °$

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9. 如图， $□ A B C D$ 的对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点O ，下列说法正确的是（）

A、若 $A C ⊥ B D$ ，则 $□ A B C D$ 是菱形 B、若 $A C = B D$ ，则 $□ A B C D$ 是菱形 C、若 $O A = O D$ ，则 $□ A B C D$ 是菱形 D、若 $O B = O D$ ，则 $□ A B C D$ 是菱形

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，点E是边 $A C$ 上一动点，过点E作 $E F / / A B$ 交 $B C$ 于点F ， D为线段 $E F$ 的中点，按下列步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧交 $A B$ ， $A C$ 于点M ， N；②分别以M ， N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线 $A G$ ．若射线 $A G$ 经过点D ，则 $A E$ 的长度为（）

A、 $\frac{8}{13}$ B、 $\frac{15}{13}$ C、 $\frac{20}{13}$ D、 $\frac{25}{13}$

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二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 计算： $\sqrt{2} \times \sqrt{6} =$ .

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12. 如图， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 1, 3)$ ， $B (- 2, 1)$ ， $C (- 1, 1)$ ，将 $△ A B C$ 平移后，点A的对应点D的坐标是 $(2, 4)$ ，则点B的对应点E的坐标是．

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13. 某校将举行田径运动会，某班的“体育达人”小健特别擅长“100米”、“200米”、“跳远”三个项目，但运动会规则要求每位运动员最多能参加两个项目，小明只能从这三个项目中随机选择两项，则他参加“100米”与“跳远”两个项目的概率是．

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14. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 三个顶点的坐标分别为 $O (0, 0)$ $A (2 \sqrt{3}, 0)$ $B (\sqrt{3}, 1)$ ， $△ O A B$ 与 $△ O C B$ 关于直线 $O B$ 对称，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象经过 $B C$ 的中点D ，则k的值为．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 1$ ，点D为 $A B$ 边上一点（不与A ， B重合），点E为 $B C$ 的中点，将 $△ C D E$ 沿 $D E$ 翻折，得到 $△ D E F$ ，连接 $B F$ ，当以点D ， E ， B ， F为顶点的四边形为平行四边形时， $A D$ 的长为．

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三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16. 计算

(1)、 $(- 10) \div 5 + (- 2 + 3) \times 2^{2}$

(2)、 $\frac{a - 1}{a + 1} \cdot (\frac{a^{2}}{a - 1} - \frac{1}{a - 1})$

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17. 《基础教育课程改革纲要（试行）》明确指出，“学校在执行国家课程和地方课程的同时，应视当地社会、经济发展的具体情况，结合本校的传统和优势、学生的兴趣和需要，开发或选用适合本校的课程。”某校结合校情预开设以下四类校本课程：A．传统文化，B．科技创新，C．体育艺术，D．生存技能．为了解学生喜欢的校本课程类型，在该校500名学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、求本次抽样调查抽取的学生人数；

(2)、补全条形统计图；

(3)、请你估计全校学生喜欢“B．科技创新”的学生约有多少名；

(4)、该校有两个多功能厅安排校本课程的授课，每次授课时间为60分钟，在确保每位学生都有座位的情况下，请你合理安排多功能厅的使用日程表，并说明理由．
活动日程表
1号多功能厅（120座）
2号多功能厅（200座）
13：00~14：00

B
14：20~15：20

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18. 随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向．从2023年开始， $4 C$ 甚至 $6 C$ 的快速充电方案已经开始逐步落地，据测试数据显示，使用 $6 C$ 充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用 $4 C$ 技术提高了 $50 %$ ，若采用 $6 C$ 充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用 $4 C$ 充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用 $6 C$ 充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？

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19. 过去几年，某公司经历了重重考验，也在挑战中不断成长.2024年该公司为促进生产，提供了两种付给员工周报酬的方案，两种方案员工得到的周报酬y（元）与员工生产的件数x（件）之间的关系如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：

(1)、求方案二y关于x的函数表达式；

(2)、如果你是该公司的员工，你该如何根据自己的生产能力选择方案．

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20. 如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢 $A B C D$ 的长 $A B = 4 m$ ．卸货时，货厢绕A点处的转轴旋转．A点处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为 $0.7 m$ ．货厢对角线 $A C$ ， $B D$ 的交点G可视为货厢的重心，测得 $∠ C A B = 23.6 °$ ，假设该车在水平地面上进行卸货作业．

(1)、若 $t a n ∠ B A N = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求点B到 $A N$ 的距离；

(2)、卸货时发现，当A ， G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．
若 $t a n ∠ B A N = 1$ ，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．
（参考数据： $s i n 23.6 ° \approx 0.40$ ， $c o s 23.6 ° \approx 0.92$ ， $c o s 68.6 ° \approx 0.36$ ， $t a n 68.6 ° \approx 0.55$ ）

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D E / / B C$ ，交 $B O$ 的延长线于点E ，且 $B E$ 平分 $∠ A B D$ ．

(1)、求证：四边形 $B C D E$ 是平行四边形；

(2)、若 $A D = 8$ ， $t a n ∠ B D E = \frac{3}{4}$ ，求 $A C$ 的长．

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22. 掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点 $A (0, 2)$ 处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为 $(4, 3.6)$ ，落在x轴上的点C处．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、某市男子实心球的得分标准如表：
得分
100
95
90
85
80
76
70
66
60
50
40
30
20
10
掷远（米）
12.4
11.2
9.6
9.1
8.4
7.8
7.0
6.5
5.3
5.0
4.6
4.2
3.6
3.0
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；

(3)、小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．

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23.

(1)、【问题初探】
在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $C A = C B$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点D在 $A B$ 上，连接 $C D$ ．求证： $A D^{2} + B D^{2} = 2 C D^{2}$ ．
①如图2，小明同学从结论出发给出如下的解题思路：过点C作 $C E ⊥ A B$ ，垂足为E ，在 $R t △ C D E$ 中， $2 C E^{2} + 2 D E^{2} = 2 C D^{2}$ ，依据 $D E = A E - A D$ ， $D E = B D - B E$ ， $A E = B E = C E$ 进行等量变换得出结论．
②如图3，小亮同学从条件出发给出如下的解题思路：过点C作 $C F ⊥ C D$ ，且 $C F = C D$ ，连接 $B F$ ， $D F$ ，依据 $△ A C D ≌ △ B C F$ ，得到 $A D = B F$ ， $∠ C B E = ∠ A = 45 °$ ，在 $R t △ B D F$ 中， $B F^{2} + B D^{2} = D F^{2}$ ，由 $D F = \sqrt{2} C D$ 得出结论．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；

(2)、【类比分析】
小红同学在深刻感悟前面两名同学的解题思路的基础上发现，当点D在如图4的位置时（1）中的结论还成立，请你写出证明过程；

(3)、【学以致用】
赵老师在此基础上提出问题：若（1）中的点D在直线 $A B$ 上，当 $B D = \sqrt{3} A D$ 时，画出草图并求出 $∠ C D B$ 的度数．

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活动日程表
	1号多功能厅（120座）	2号多功能厅（200座）
13：00~14：00		B
14：20~15：20

得分	100	95	90	85	80	76	70	66	60	50	40	30	20	10
掷远（米）	12.4	11.2	9.6	9.1	8.4	7.8	7.0	6.5	5.3	5.0	4.6	4.2	3.6	3.0