2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之线段最值（二）

试卷更新日期：2024-05-21 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB ， E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝ $\frac{1}{2}$ BD ，连接AE ， CF ，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（）

A、等于定值5- $\sqrt{2}$ B、有最大值 $\frac{12 \sqrt{13}}{13}$ C、有最小值 $\frac{12 \sqrt{13}}{13}$ D、有最小值 $\sqrt{13}$

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2. 如图，在边长为a的正方形 $A B C D$ 中，E是对角线 $B D$ 上一点，且 $B E = B C$ ，点P是 $C E$ 上一动点，则点P到边 $B D$ ， $B C$ 的距离之和 $P M + P N$ 的值（）

A、有最大值a B、有最小值 $\frac{\sqrt{2}}{2} a$ C、是定值a D、是定值 $\frac{\sqrt{2}}{2} a$

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3. 如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正ΔBCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的（）

A、随点C的运动而变化，最小值为 $4 \sqrt{3}$ B、随点C的运动而变化，最大值为8 C、随点C的运动而变化，最大值为 $8 \sqrt{3}$ D、随点C的运动而变化，但无最值

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4. 如图， $⊙ O$ 的半径是 $1$ ，点 $P$ 是直线 $y = - x + 2$ 上一动点，过点 $P$ 作 $⊙ O$ 的切线，切点为 $A$ ，连接 $O A$ ， $O P$ ，则 $A P$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（）

A、8 B、10 C、12 D、20

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4, C D ⊥ A B$ 于点D ， P是 $A B$ 上的一个动点，以点P为直角顶点向右作等腰 $R t △ C P E$ ，连接 $D E$ ，则 $D E$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2} - 1$

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7. 在周长为 $8$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 边的中点，点 $P$ 为对角线 $A C$ 上的一个动点，则 $P E + P B$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，∠A＝60°，E是边DC延长线上一点，连接BE ，以BE为边作等边三角形BEF ，连接FC ，则FC的最小值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， G是 $A D$ 的中点，线段 $E F$ 在边 $A B$ 上左右滑动，若 $E F = 1$ ，则 $G E + C F$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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10. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是圆上不与A ， B重合的点，CD平分∠ACB ，交⊙O于D ， AE平分∠CAB ，交CD于E ．有以下说法：
①点D是定点；
②AC•BC的最大值为50；
③D为△ABE的外心；
④CA+CB的最大值为 $10 \sqrt{2}$ ．
其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 如图， $⊙ O$ 的半径 $O F ⊥$ 弦 $A B$ 于点E ， C是 $⊙ O$ 上一点， $A B = 12$ ， $C E$ 的最大值为18，则 $E F$ 的长为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段 $O C$ 长的最大值是（）

A、 $2 + 2 \sqrt{3}$ B、 $2 + 2 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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13. 如图，△ABC中，∠ABC＝90°， $t a n ∠ B A C = \frac{1}{2}$ ， D是AB中点，P是以A为圆心，以AD为半径的圆上的动点，连接PB、PC，则 $\frac{P B}{P C}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{13 - 1}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{13 + 1}}{4}$

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14. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则边 $A C$ 的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、8 D、 $8 \sqrt{2}$

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4直线l经过点B，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，则AE+CF的最大值为（）

A、 $\sqrt{15} + \sqrt{6}$ B、5 C、 $2 \sqrt{6} + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{73}$

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16. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2.若点Р是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、6 C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C = 6$ ，点D、E分别是 $A B 、 A C$ 的中点．将 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转 $60 °$ ，射线 $B D$ 与射线 $C E$ 交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：
① $△ A E C ≌ △ A D B$ ；② $C P$ 存在最大值为 $3 + 3 \sqrt{3}$ ；③ $B P$ 存在最小值为 $3 \sqrt{3} - 3$ ；④点P运动的路径长为 $2 \sqrt{2} π$ ．其中，正确的是（）

A、①③④ B、①②④ C、①②③ D、②③④

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18. 如图，函数 $y = 2 x$ 与函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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二、填空题

19. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，边长为2，点E ， F分别是 $A B$ ， $B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ ，则 $D E + D F$ 的最小值为．

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20. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB ，则PB的最小值．

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21. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是 $\overset{⌢}{B C}$ 上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是。

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22. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，在运动过程中始终保持AE=CF ，连接EF ，取EF中点G ，连接AG ，则AG的最小值是．

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23. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 直径， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，点 $D$ 在直径 $A B$ 上方的半圆上运动，连结 $C D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，则 $\frac{D E}{C E}$ 的最大值为．

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24. 如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为．

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25. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，菱形的面积为30；折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD相交于点E，F，当点M的位置变化时，DF的长的最大值为.

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5 ， B C = 4 \sqrt{5} ， D$ 为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则 $△ A B C$ 的面积是， $△ B D E$ 面积的最大值为.

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27. 如图，线段 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点C在 $A B$ 的延长线上， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，点P是 $⊙ O$ 上一动点，连接 $C P$ ，以 $C P$ 为斜边在 $P C$ 的上方作Rt $△ P C D$ ，且使 $∠ D C P = 60 °$ ，连接 $O D$ ，则 $O D$ 长的最大值为．

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28. 如图，P为Rt△ABC内一点，其中∠BAC=90°，并且PA=3，PB=7，PC=9，则BC的最大值为.

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29. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $B D = 4$ ，点 $E$ 为 $O D$ 的中点，点 $F$ 为 $A B$ 上一点，且 $A F = 3 B F$ ，点 $P$ 为 $A C$ 上一动点，连接 $P E$ 、 $P F$ ，则 $P F - P E$ 的最大值为．

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30. 如图所示， $∠ A C B = 60 °$ ，半径为2的圆O内切于 $∠ A C B$ .P为圆O上一动点，过点P作 $P M$ 、 $P N$ 分别垂直于 $∠ A C B$ 的两边，垂足为M、N，则 $P M + 2 P N$ 的取值范围为 .

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31. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点 $M$ 是平面内一动点，且满足 $B M = 2$ ， $N$ 为 $M D$ 的中点，点 $M$ 运动过程中线段 $C N$ 长度的取值范围是．

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32. 如图，AB是半径为4的⊙O的弦，且AB＝6，将 $\hat{A B}$ 沿着弦AB折叠，点C是折叠后的 $\hat{A B}$ 上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D ，点E是CD的中点，连接EO ，则EO的最小值为．

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33. 如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP长的最小值为

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34. 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2 $\sqrt{3}$ ，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值= .

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35. 如图， $D$ ， $E$ 分别是边长为 $2$ 的等边三角形 $A B C$ 的两边 $A B$ ， $A C$ 上的动点，且 $A D = C E$ ， $B E$ 与 $C D$ 交于点 $F$ ，则点 $A$ 到点 $F$ 的最小值为．

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36. $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 4$ ， E是AC的中点，MN分别是边AB、BC上的动点，D也是BC边上的一个动点，以CD为直径作 $⊙ O$ ，连接ED交 $⊙ O$ 于F，连接FM，MN，则 $F M + M N$ 的最小值为.

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三、综合题

37. 对于任意正实数， ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ， $∴ a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， $∴ a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，只有 $a = b$ 时，等号成立.结论：在 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ (，均为正实数）中，若为定值，则 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，只有当 $a = b$ 时，a+b有最小值 $2 \sqrt{p}$ .根据上述内容，回答下列问题：

(1)、初步探究：若 $n > 0$ ，只有当 $n =$ 时，有 $n + \frac{1}{n}$ 最小值；

(2)、深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的长和宽分别为，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，并指出等号成立时的条件；

(3)、拓展延伸：如图，已知 $A (-6 ， 0)$ ， $B (0 ， -8)$ ，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，矩形的面积始终为48，求四边形面积的最小值以及此时点的坐标.

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38. 对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作 $d (P ， Q)$ ．已知点 $A (- 2 ， 2)$ ， $B (2 ， 2)$ ，连接AB．

(1)、d（点O，AB）＝；

(2)、⊙O半径为r，若 $d (⊙ O ， A B) = 0$ ，直接写出r的取值范围；

(3)、⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转 $α ° (0 ° < α < 180 °)$ ，得到点 $A^{'}$ ．
①当 $α = 30 °$ 时 $d (⊙ O ， A^{'}) = 0$ ，求出此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个α使 $d (⊙ O ， A^{'}) = 0$ ，直接写出r的范围．

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39. 对于平面内的点P和图形M ，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆，若 $⊙ P$ 与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度 $d_{M}$ ”．

(1)、如图1.点 $A (4 ， 3)$ ， $B (0 ， 3)$ ．
①在点O视角下，则线段 $A B$ 的“宽度 $d_{A B}$ ”为；

②若 $⊙ B$ 半径为1.5，在点A视角下， $⊙ B$ 的“宽度 $d_{⊙ B}$ ”为；

(2)、如图2， $⊙ O$ 半径为2，点P为直线 $y = - x + 1$ 上一点．求点P视角下 $⊙ O$ “宽度 $d_{⊙ O}$ ”的取值范围；

(3)、已知点 $C (m ， 0) ， C K = 1$ ，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 3$ 与x轴，y轴分别交于点D ， E ．
若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段 $D E$ 的“宽度”均满足 $0 < d_{D E} < 6$ ，直接写出m的取值范围．

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40. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{10}$ ， $A$ ， $B$ 为 $⊙ O$ 外两点， $A B = 2 \sqrt{2}$ .给出如下定义：平移线段 $A B$ ，使平移后的线段 $A^{'} B^{'}$ 成为 $⊙ O$ 的弦（点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 分别为点 $A$ ， $B$ 的对应点），线段 $A A^{'}$ 长度的最小值称为线段 $A B$ 到 $⊙ O$ 的“优距离”.

(1)、如图1， $⊙ O$ 中的弦 $P_{1} P_{2}$ 、 $P_{3} P_{4}$ 是由线段 $A B$ 平移而得，这两条弦的位置关系是；在点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ 中，连接点 $A$ 与点的线段的长度等于线段 $A B$ 到 $⊙ O$ 的“优距离”；

(2)、若点 $A (0 ， 7)$ ， $B (2 ， 5)$ ，线段 $A A^{'}$ 的长度是线段 $A B$ 到 $⊙ O$ 的“优距离”，则点 $A^{'}$ 的坐标为；

(3)、如图2，若 $A$ ， $B$ 是直线 $y = - x + 6$ 上两个动点，记线段 $A B$ 到 $⊙ O$ 的“优距离”为 $d$ ，则 $d$ 的最小值是；请你在图2中画出 $d$ 取得最小值时的示意图，并标记相应的字母.

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