2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之线段最值（一）

试卷更新日期：2024-05-21 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 如图， $E$ 是线段 $A B$ 上一点， $△ A D E$ 和 $△ B C E$ 是位于直线 $A B$ 同侧的两个等边三角形，点 $P ， F$ 分别是 $C D ， A B$ 的中点．若 $A B = 4$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $P A + P B$ 的最小值为 $3 \sqrt{3}$ B、 $P E + P F$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ C、 $△ C D E$ 周长的最小值为6 D、四边形 $A B C D$ 面积的最小值为 $3 \sqrt{3}$

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2. 如图，已知直线 $A B : y = \frac{\sqrt{55}}{3} x + \sqrt{55}$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点B、A两点， $C (3, 0)$ ， D、E分别为线段 $A O$ 和线段 $A C$ 上一动点， $B E$ 交 $y$ 轴于点 $H$ ，且 $A D = C E$ ．当 $B D + B E$ 的值最小时，则 $H$ 点的坐标为（）

A、 $(0, 4)$ B、 $(0, 5)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{55}}{2})$ D、 $(0, \sqrt{55})$

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3. 如图，在扇形 $B O C$ 中， $∠ B O C = 60 ° ， O D$ 平分 $∠ B O C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为半径 $O B$ 上一动点．若 $O B = 3$ ，则阴影部分周长的最小值为（）

A、 $\frac{6 \sqrt{2} + π}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} + π}{3}$ C、 $\frac{6 \sqrt{2} + π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2} + 2 π}{3}$

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4. 如图，直角三角形 $B E F$ 顶点 $F$ 在矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上运动，连接 $A E$ ． $∠ E B F = ∠ A C D$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $A E$ 的最小值为（）．

A、 $\frac{54}{25}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{72}{25}$

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5. 如图，在 $R t △ A B O$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $O A = 6$ ， $⊙ O$ 的半径为1，点P是 $A B$ 边上的动点，过点即P作 $⊙ O$ 的一条切线 $P Q$ （点Q为切点），则切线长 $P Q$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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6. 如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，MN的长为（　　）

A、6 B、12 $\sqrt{3}$ -18 C、18 $\sqrt{3}$ -18 D、12

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7. 如图，在四边形 $A B C D ， D A ⊥ A B ， D A = 6 c m ， ∠ B + ∠ C = 150 ° ， A$ 刚好是 $E B$ 中点，P、Q分别是线段 $C E 、 B E$ 上的动点，则 $B P + P Q$ 的最小值为（）

A、12 B、15 C、16 D、18

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8. 如图：等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 1$ ， $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上的动点，且 $C F = 2 B E$ ，则 $B F + 2 C E$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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9. 如图，在边长为10的正方形 $A B C D$ 对角线上有E，F两个动点，且 $A B = \sqrt{2} E F$ ，点P是 $B C$ 中点，连接 $A E ， P F$ ，则 $A E + P F$ 最小值为（）

A、 $5 \sqrt{5}$ B、 $10 \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、10

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 5$ ，点 $P$ 在 $A D$ 上，点 $Q$ 在 $B C$ 上，且 $A P = C Q$ ，连接 $C P$ ， $Q D$ ，则 $P C + Q D$ 的最小值为（）

A、 $11$ B、 $12$ C、 $13$ D、 $14$

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $∠ B = 30^{\circ}$ ， $B C = 7$ ，点E在边BC上，并且 $C E = 2$ ，点F为边AC上的动点，将 $△ C E F$ 沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）

A、 $0.5$ B、1 C、2 D、 $2.5$

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 的面积为 $16$ ， $△ A B E$ 是等边三角形，点 $E$ 在正方形 $A B C D$ 内，在对角线 $A C$ 上有一点 $P$ ，使 $P D + P E$ 的和最小，则这个最小值为（）．

A、 $\sqrt{8}$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $\sqrt{32}$

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13. 如图：点 $A (0 ， 2)$ 在 $y$ 轴上， $B$ 是 $x$ 轴上的动点，将线段 $A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得线段 $A C$ ，则 $O C$ 长的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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14. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $t a n A = 3$ ， $B D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，若点 $E$ 是线段 $B D$ 上一动点，则 $C E + \frac{\sqrt{10}}{10} B E$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $10$

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15. 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF ．若AD＝4，则EG²+CG²的最小值为（　　）

A、52 B、60 C、68 D、76

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，P为平面内的一点，连接 $A P 、 P B 、 P C$ ，若 $∠ A C B = 30 ° ， A C = 8 ， B C = 10$ ，则 $4 P A + 2 P B + 2 \sqrt{3} P C$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{89}$ B、36 C、 $4 \sqrt{10} + 2 \sqrt{5} + 6 \sqrt{7}$ D、 $16 \sqrt{10} - 10$

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二、填空题

17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6, A D = 10, E$ 为 $C D$ 的中点，若 $P 、 Q$ 为 $B C$ 边上的两个动点，且 $P Q = 2$ ，则线段 $A P + Q E$ 的最小值为．

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18. 如图，在直角坐标系中，已知点 $A (4, 0)$ ，点 $B$ 为 $y$ 轴正半轴上一动点，连接 $A B$ ，以 $A B$ 为一边向下作等边 $Δ A B C$ ，连接 $O C$ ，则 $O C$ 的最小值为．

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19. 如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则 $P D + \frac{1}{2} P C$ 的最小值为.

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20. 如图， $A B C D$ 中， $∠ B = 45^{\circ} ， A B = 2 \sqrt{2} ， B C - 6$ ，点 $E$ 为 $A B$ 边上的中点， $F ， G$ 为边 $A D$ 上的两个动点，且 $F G = 1$ ，则五边形 $B C G F E$ 的周长最小值为

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21. 如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为．

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22. 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D在CB延长线上运动时，AD- $\frac{1}{2}$ BD的最小值为．

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23. 如图，已知点 $A$ 坐标为 $(\sqrt{3} ， 1)$ ， $B$ 为 $x$ 轴正半轴上一动点，则 $∠ A O B$ 度数为，在点 $B$ 运动的过程中 $A B + \frac{1}{2} O B$ 的最小值为．

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24. 如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，AE为∠BAD的平分线，F为AE上一动点，点M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是.

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25. 如图，已知直线 $y = \frac{3}{4} x - 3$ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以 $C (0 ， 1)$ 为圆心，1为半径的圆上一动点，连接 $P A ， P B$ ．则 $△ P A B$ 面积的最大值与最小值的差为．

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26. 如图，CD为等腰 $△ A B C$ 的高，其中 $∠ C A B = 58 ° ， A C = A B$ ， E ， F分别为线段CD ， AC上的动点，且 $A F = C E$ ，当 $B F + A E$ 取最小值时， $∠ C F B$ 的度数为．

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27. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为8，点 $E$ 为 $B C$ 边上一点，且 $B E = 2$ ，点 $F$ 为 $A B$ 边上的一个动点，连接 $E F$ ，以 $E F$ 为一条直角边向右侧作等腰 $R t △ E G F$ ，且使 $∠ E F G = 90 °$ ，连接 $C G$ ，则 $C G$ 的最小值是．

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三、解答题

28. 数学课上，老师给出题目：如图所示，在 $R t △ A B C$ 中 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 2$ ，点D ， E分别是边 $A B$ 和边 $B C$ 上的动点，且 $A D = B E$ ，连接 $A E$ ， $C D$ ．请探究 $A E + C D$ 是否存在最小值？并说明理由．
嘉淇的想法是把 $A E$ 和 $C D$ 转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试探索，并成功解决了问题．以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程．

(1)、在射线 $A C$ 上取点F ，使 $A F = A D$ ，把 $△ A D C$ 绕点A顺时针旋转，使点D落在点F处，点C落在点G处．
①请你运用尺规作图（保留作图痕迹，不用给出证明），作出 $△ A F G$ ，并连接 $B F$ ；
②求证： $A E = B F$ ．

(2)、在（1）的基础上，请你通过探索，求出 $C D + A E$ 的最小值，并直接写出此时 $A D$ 的长度．

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29.

【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求 $\frac{1}{2} A P + B P$ 的最小值.

【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得 $\frac{O C}{O P} = \frac{1}{2} = \frac{O P}{O A}$ ，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以 $\frac{C P}{A P} = \frac{O P}{O A} = \frac{1}{2}$ ，得 $C P = \frac{1}{2} A P$ 所以 $\frac{1}{2} A P + B P = C P + B P$ .

又因为 $C P + B P \geq C B = \sqrt{O C^{2} + O B^{2}}$ ，所以 $\frac{1}{2} A P + B P$ 最小值为 ▲ .

【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将 $\frac{1}{2} A P$ 转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.

【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求 $A P + \frac{2}{3} B P$ 的最小值.

【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ▲ .

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四、实践探究题

30. 【阅读材料】说明代数式 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{(x - 3)^{2} + 4}$ 的几何意义，并求它的最小值．
解： $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{(x - 3)^{2} + 4} = \sqrt{(x - 0)^{2} + (0 - 1)^{2}} + \sqrt{(x - 3)^{2} + (0 - 2)^{2}}$ ，如图1，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则 $\sqrt{(x - 0)^{2} + (0 - 1)^{2}}$ 可以看成点P与点A（0，1）的距离， $\sqrt{(x - 3)^{2} + (0 - 2)^{2}}$ 可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是求PA＋PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以 $A^{^{'}} B = 3 \sqrt{2}$ ，即原式的最小值为 $3 \sqrt{2}$ ．
根据以上阅读材料，解答下列问题：

(1)、【基础训练】代数式 $\sqrt{(x - 1)^{2} + 1} + \sqrt{(x - 3) + 16}$ 的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和；（填写点B的坐标）

(2)、【能力提升】求代数式 $\sqrt{x^{2} + 49} + \sqrt{x^{2} - 12 x + 37}$ 的最小值为；

(3)、【拓展升华】如图2，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且 $A N = C M ， A B = \sqrt{2}$ ．当AM＋BN的值最小时，求CM的长．

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