2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之圆(二)

试卷更新日期：2024-05-21 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 $⊙ O$ 被水面截得弦 $A B$ 长为4米， $⊙ O$ 半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 $A B$ 所在直线的距离是（）

A、1米 B、2米 C、 $(3 - \sqrt{5})$ 米 D、 $(3 + \sqrt{5})$ 米

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2. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点D，C在 $⊙ O$ 上，连接 $A D$ ， $D C$ ， $A C$ ，如果 $∠ C = 65 °$ ，那么 $∠ B A D$ 的度数是（　　）

A、15° B、20° C、25° D、30°

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3. 如图，已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B A C < 60 °$ ，点 $P$ 为 $△ A B C$ 的重心 $.$ 若 $B C = 6$ ，当点 $A$ 到 $B C$ 的距离最大时，线段 $P O$ 的长为( )

A、 $\frac{1}{t a n ∠ B A C} - \frac{2}{s i n ∠ B A C}$
B、 $\frac{2}{t a n ∠ B A C} - \frac{1}{s i n ∠ B A C}$
C、 $t a n ∠ B A C - 2 s i n ∠ B A C$
D、 $2 t a n ∠ B A C - s i n ∠ B A C$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8 c m$ ， $B C = 6 c m$ ，点O以 $2 c m / s$ 的速度在 $△ A B C$ 边上沿 $A \to B \to C \to A$ 的方向运动，以点O为圆心，半径为 $2 c m$ 作 $⊙ O$ ，运动过程中， $⊙ O$ 与 $△ A B C$ 三边所在直线第一次相切和第三次相切的时间间隔是（）s

A、 $\frac{55}{12}$ B、4 C、 $\frac{13}{3}$ D、 $\frac{23}{5}$

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5. 如图，在 $3 \times 3$ 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点 $△ A B C$ 外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{5}{2} π - \frac{7}{4}$ B、 $\frac{5}{2} π - \frac{7}{2}$ C、 $\frac{5}{4} π - \frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{4} π - \frac{7}{2}$

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接正方形，直线 $E F ⊥ O A$ 且平分 $O A$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ， $F .$ 若 $O A = 1$ ，则阴影部分面积为（）

A、 $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$ B、 $\frac{π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$ C、 $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$ D、 $\frac{π}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$

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7. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B = 10$ ， $D E$ 是弦， $A B ⊥ D E$ ， $\overset{⌢}{C E B} = \overset{⌢}{E B D}$ ， $s i n ∠ B A C = \frac{3}{5}$ ， $A D$ 的延长线与 $C B$ 的延长线相交于点 $F$ ， $D B$ 的延长线与 $O E$ 的延长线相交于点 $G$ ，连接 $C G$ ．下列结论中正确的个数是（）
① $∠ D B F = 3 ∠ D A B$ ；

② $C G$ 是 $⊙ O$ 的切线；

③B，E两点间的距离是 $\sqrt{10}$ ；

④ $D F = \frac{11 \sqrt{10}}{9}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，将劣弧 $\overset{⌢}{A C}$ 沿 $A C$ 折叠后刚好经过弦 $B C$ 的中点D.若 $A C = 6$ ， $∠ C = 60 °$ ，则 $⊙ O$ 的半径长为（）

A、 $\frac{1}{3} \sqrt{7}$ B、 $\frac{2}{3} \sqrt{7}$ C、 $\frac{1}{3} \sqrt{21}$ D、 $\frac{2}{3} \sqrt{21}$

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9. 如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）

A、CD+DF=4 B、CD−DF=2 $\sqrt{3}$ −3 C、BC+AB=2 $\sqrt{3}$ +4 D、BC−AB=2

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10. 如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时， $\frac{C F}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

11. 如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．且∠ADE＝30°，AD＝6，则阴影部分的面积为．

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12. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B$ 长为 $3 \sqrt{5}$ ，以 $A B$ 为边作矩形 $A B C D$ ，点 $E$ 在圆上，连接 $A E$ ， $B E$ 分别交 $C D$ 于点 $F ， G$ ．若 $A E$ 为3， $A D$ 为2，则 $A F$ 的长为．

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13. 如图，点 $B 、 E 、 C$ 在一直线上， $△ B E A$ ， $△ C E D$ 在直线 $B C$ 同侧， $B E = B A = 4$ ， $C E = C D = 6$ ， $∠ B = ∠ C = α$ ，当 $t a n \frac{α}{2} = \frac{1}{2}$ 时， $△ A D E$ 外接圆的半径为．

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14. 如图， $⊙ O$ 中，四边形 $A B D C$ 内接于圆， $B C$ 是直径， $A B = A C$ ，若 $S_{四边形 A B D C} = 6 c m^{2}$ ，则 $A D =$ $c m$ ．

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15. 如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰三角形ACM，等腰三角形BCN， $\overset{⌢}{A C}$ ， $\overset{⌢}{B C}$ 的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=15，则AO的长是.

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16. 如图，点P是线段AB上一动点(不包括端点)，过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆O于点Q，连结AQ，过点P作PC∥AQ交该半圆于点C，连结CB．当△PCB是以PC为腰的等腰三角形时， $\frac{B P}{A B}$ 为

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三、实践探究题

17. 【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角.

(1)、【概念理解】当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数.

(2)、【性质探究】如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，
求证： $t a n A = \frac{B C}{A C}$ .

(3)、【拓展应用】如图2，AB是⊙O的直径，且AB=13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形.
①当BC=5时，求AD的长.
②当△BCD是和美三角形时，直接写出 $\frac{C E}{E D}$ 的值.

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18. $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，且 $A B = A C = 20$ ， $t a n ∠ A B C = \frac{4}{3} . D$ 是劣弧BC上一点， $C E ⊥ A D$ 分别交AD，BD于点G，F，交 $⊙ O$ 于点 $E$ .

(1)、如图，连接AF，当AF经过圆心时.
①求证：AF平分 $∠ B A C$ ；
②求 $\frac{F G}{A G}$ 的值；

(2)、考生注意：本题有三小题，第①题2分，第②题3分，第③题4分，如图，请根据自己的认知水平，选做其中一题.
①连接CD，求证： $C G = F G$ ；
②连接AE，求证： $∠ B A C = 2 ∠ E A D$ ；
③连接BE，若 $s i n ∠ C A D = \frac{1}{5}$ ，求BE的长.

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19. 定义：当点P在射线OA上时，把 $\frac{O P}{O A}$ 的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．
例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为 $\frac{O P}{O A} = \frac{1}{3}$ ．

(1)、在△OAB中，
①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；
②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；
③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．
其中真命题有 ▲ ．
$A$ ． ①② $B$ ． ①③ $C$ ． ②③ $D$ ． ①②③

(2)、已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．
①如图2，若点B在射线OA上的射影值为 $\frac{1}{2}$ ．求证：直线BC是⊙O的切线；
②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x ，点D在射线OB上的射影值为y ，直接写出y与x之间的函数关系式为．

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20. 有关阿基米德折弦定理的探讨与应用

(1)、[问题呈现]
阿基米德折弦定理：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线AB-BC是圆的一条折弦），BC> AB，点M是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，则从点M向BC作垂线，垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．
下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.
证明：如图②，在CD上截取CE=AB，连接MA、MB、MC和ME.
∵M是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，∴MA=MC.
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.

(2)、[理解运用]
如图③，△ABC内接于⊙O，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作EF⊥AC于点F.若AC=10，BC=4，则CF的长为

(3)、[实践应用]
如图④，等边△ABC内接于⊙O，点D是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，且∠ABD= 45°，连接CD.若AB=2，则△BDC的周长为

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四、综合题

21. 如图， $A B$ ， $C D$ 是 $⊙ O$ 的两条直径， $A B ⊥ C D$ ，点 $E$ 是 $\overset{⏜}{B D}$ 上一点，连接 $A E$ ， $C E$ ，分别交 $O D$ ， $O B$ 于点 $F$ ， $G$ ，连接 $A C$ ， $A D$ ， $F G$ ．

(1)、若 $∠ A F O = 60 °$ ，求 $∠ C G O$ 的度数．

(2)、求证： $A C^{2} = A G \cdot C F$ ．

(3)、设 $∠ A F O = α$ ， $△ C F G$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A O F$ 的面积为 $S_{2}$ ，求证： $\frac{S_{1}}{S_{2}} = t a n α - 1$ ．

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22. 如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A C}$ ，点F在线段BD上，且AF=AD.

(1)、若∠ADB= $α$ ，请用 $α$ 的代数式表示∠ADC；

(2)、求证：BF=CD；

(3)、如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC.
①若AM为⊙O的直径，AM=13，tan∠DAC= $\frac{2}{3}$ ，求AF的长；
②若FG=2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论.

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