2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之圆(一)

试卷更新日期：2024-05-21 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 如图， $A B$ 是半圆O的直径，C、D、E三点依次在半圆O上，若 $∠ C = α$ ， $∠ E = β$ ，则 $α$ 与 $β$ 之间的关系是（）

A、 $α + β = 270 °$ B、 $α + β = 180 °$ C、 $β = α + 90 °$ D、 $β = \frac{1}{2} α + 90 °$

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2. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径，点 $C ， D$ 在半圆上， $\overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{D B}$ ，连接 $O C ， C A ， O D$ ，过点 $B$ 作 $E B ⊥ A B$ ，交 $O D$ 的延长线于点 $E$ ．设 $△ O A C$ 的面积为 $S_{1} ， △ O B E$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2}{3}$ ，则 $t a n ∠ A C O$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 $37 m$ ，拱高约为 $7 m$ ，则赵州桥主桥拱半径R约为（）

A、 $20 m$ B、 $28 m$ C、 $35 m$ D、 $40 m$

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4. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ABC＝114°，则∠AOC的度数为（　　）

A、134° B、132° C、76° D、66°

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5. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ，在BC上取点F ，使得CF＝CE ，连结AF交CD于点G ，连结AD ．若CG＝GF ，则 $\frac{B C^{2}}{A D^{2}}$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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6. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，将 $\overset{⌢}{B C}$ 沿 $B C$ 翻折，翻折后的弧交 $A B$ 于D．若 $B C = 4 \sqrt{5}$ ， $s i n ∠ A B C = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{25}{6} π - 2$ B、 $\frac{25}{3} π - 2$ C、8 D、10

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ 是 $A B$ 边上的一点，将 $△ B C E$ 沿着 $C E$ 折叠至 $△ F C E$ ，若 $C F$ 、 $C E$ 恰好与正方形 $A B C D$ 的中心为圆心的 $⊙ O$ 相切，则折痕 $C E$ 的长为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、5 C、 $\frac{8}{3} \sqrt{3}$ D、以上都不对

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8. 如图，AD是 $△ A B C$ 的外角平分线，与 $△ A B C$ 的外接圆交于点 $D$ ，连结BD交AC于点 $F$ ，且 $B C = C F$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $∠ A D B = ∠ C D B$ B、 $3 ∠ A C B + ∠ A C D = 18 0^{°}$ C、 $3 ∠ B D C + 2 ∠ A B D = 18 0^{°}$ D、 $3 ∠ B A D + ∠ A B D = 36 0^{°}$

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9. 如图， $⊙ M$ 的圆心M在一次函数 $y = \frac{3}{5} x + 3$ 位于第一象限中的图象上， $⊙ M$ 与y轴交于C、D两点，若 $⊙ M$ 与x轴相切，且 $C D = 2 \sqrt{11}$ ，则 $⊙ M$ 半径是（）

A、 $\frac{27}{8}$ 或5 B、5或6 C、 $\frac{27}{8}$ 或6 D、5

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10. 如图，等边三角形ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{18}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{18}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$

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二、填空题

11. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $E$ ，且 $A C = B D$ ，过点 $C$ 作 $C F ∥ B D$ 交 $A B$ 延长线于点 $F$ ．若 $A D = 2 C B ， A B = \sqrt{2} O A = 2 \sqrt{5}$ ．则 $△ B C F$ 的面积为

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12. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标分别为 $(- 1, 0)$ ， $(0, - 1)$ ， $(2, 0)$ ，点 $E$ 是三角形 $A B C$ 的外接圆 $P$ 上一点， $B E$ 交线段 $A C$ 于点 $D$ ，若 $∠ D B C = 45 °$ ，则点 $D$ 的坐标为.

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13. 已知： $⊙ O$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ A C B$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ C D$ ，垂足为点 $E$
① $A C = 1$ ， $B C = 2$ ，则 $A D =$
②若 $∠ D B E = 2 ∠ A B C$ ，则 $\frac{D E}{C E} =$ ；

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14. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 直径， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，点D在直径 $A B$ 上方的半圆上运动，连接 $C D$ 交 $A B$ 于点E ，则 $B C$ 的长度为， $\frac{D E}{C E}$ 的最大值为．

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15. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝．

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16. 如图，在扇形AOB中，点C，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，将D沿弦 $\overset{⌢}{C D}$ 折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.已知∠AOB=120°，OA=6，则 $\overset{⌢}{E F}$ 的度数为，折痕CD的长为.

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三、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6, B C = 8, A C = 10$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $C O$ 并延长，分别交 $⊙ O$ 于 $D 、 E$ 两点，连接 $B E, B D$ ．

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $B C^{2} = C D \cdot C E$ ；

(3)、求 $∠ A B E$ 的正切值．

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18. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D ，连接BD、CD ，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P ．

(1)、求证：PD是⊙O的切线；

(2)、求证：△ABD∽△DCP；

(3)、当AB＝12，AC＝16时，求CD和DP的长．

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19. 如图，直线AB经过⊙O上的点C ，并且OA=OB ， CA=CB ，直线OB交⊙O于点E、D ，连接EC、CD ．

(1)、试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；

(2)、求证： $B C^{2} = B D \cdot B E$ ；

(3)、若 $t a n E = \frac{1}{2}$ ， ⊙O的半径为3，求OA的长．

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20. 如图1，将 $R t △ A B C$ 的顶点C放在 $⊙ O$ 上，边 $B C$ 与 $⊙ O$ 相切于点C ，边 $A C$ 与 $⊙ O$ 交于点D ．已知 $∠ B C A = 60 °$ ， $∠ B = 90 °$ ， $B C = 6$ ， $⊙ O$ 的直径为8．

(1)、如图1，过点O作 $O M ⊥ C D$ 于点M ，求 $C M$ 的长度；

(2)、从图1的位置开始，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转，设旋转角为 $α$ （ $0 ° \leq α \leq 360 °$ ）．
①如图2，当 $α = 20 °$ 时，边 $B C$ 与 $⊙ O$ 的另一交点为E ，求 $\overset{⌢}{C E}$ 的长度；
②如图3，当 $A C$ 经过圆心O时，试判断 $A B$ 与 $⊙ O$ 之间的位置关系，并说明理由；
③在旋转过程中，直接写出点O到边 $A B$ 的距离h的取值范围．

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21. 如图1，在平面直角坐标系中，点 $M$ 的坐标为 $(3 ， 0)$ ，以点 $M$ 为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ．

(1)、 $△ A O D$ 与 $△ C O B$ 相似吗？为什么？

(2)、如图2，弦 $D E$ 交 $x$ 轴于点 $P$ ，且 $B P ： D P = 3 ： 2$ ，求 $t a n ∠ E D A$ ；

(3)、如图3，过点 $D$ 作 $⊙ M$ 的切线，交 $x$ 轴于点 $Q$ ．点 $G$ 是 $⊙ M$ 上的动点，问比值 $\frac{G O}{G Q}$ 是否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由．

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22. 已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，直径 $A E ⊥ B C$ 于点F ．

(1)、如图1，求证： $∠ A D C - ∠ B A E = 90 °$ ；

(2)、如图2，连接 $B D$ ，若 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，过点D作 $D H ⊥ B C$ 于点H ，求证： $B H = H C + A B$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接 $D E$ 交 $F C$ 于点G ，若 $A B = 10$ ， $A F = 8 H C$ ，求 $E G$ 的长．

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