辽宁省葫芦岛市2024学年九年级下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2024-05-21 类型：中考模拟

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入50元记作 $+ 50$ 元，那么 $- 20$ 元表示（）

A、支出20元 B、收入20元 C、支出30元 D、收入30元

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2. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，则从左面看得到的平面图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(- a^{2})}^{3} = - a^{5}$ C、 $(a - b)^{2} = (a + b) (a - b)$ D、 $3 a - a = 2 a$

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5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有两个实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \geq - 1$ B、 $k \leq 1$ C、 $k \geq - 1$ 且 $k \neq 0$ D、 $k \leq 1$ 且 $k \neq 0$

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6. 不等式组 ${\begin{cases} - x < 1 \\ x - 1 \leq 1 \end{cases}$ 的解集在数轴上可表示为（）．

A、 B、 C、 D、

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7. 已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象如图所示，则下列判断中正确的是（）

A、 $k > 0, b < 0$ B、方程 $k x + b = 0$ 的解是 $x = - 3$ C、当 $x > - 3$ 时， $y < 0$ D、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到900-里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为 $x$ 天，则可列方程为（）

A、 $\frac{900}{x - 1} = \frac{900}{x + 3} \times 2$ B、 $\frac{900}{x - 1} \times 2 = \frac{900}{x + 3}$ C、 $\frac{900}{x + 1} \times 2 = \frac{900}{x - 3}$ D、 $\frac{900}{x + 1} = \frac{900}{x - 3} \times 2$

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9. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，点 $A$ 在 $l_{2}$ 上， $A B ⊥ l_{3}$ ，垂足为 $B$ ．若 $∠ 1 = 138 °$ ，则 $∠ 2$ 度数为（）

A、 $32 °$ B、 $38 °$ C、 $42 °$ D、 $48 °$

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10. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 4$ ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $B C$ ， $B D$ 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 长为半径画弧交于点P，作射线 $B P$ ，过点C作 $B P$ 的垂线分别交 $B D ， A D$ 于点M，N，则 $C N$ 的长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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二、填空题（本题共5小题；每小题3分，共15分）

11. 若a，b为两个连续整数，且 $a < \sqrt{3} < b$ ，则 $a + b =$ .

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12. 如图，网格上的小正方形边长均为1， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 的顶点都在格点上．若 $△ D E F$ 是由 $△ A B C$ 向右平移 $a$ 个单位，再向下平移 $b$ 个单位得到的，则 $\frac{b}{a}$ 的值为．

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13. 有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是．

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14. 如图，矩形 $A B C D$ 的顶点 $A, B$ 的坐标分别是 $A (- 2, 0), B (0, - 4)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像经过顶点 $C, A D$ 边交 $y$ 轴于点 $E$ ，若四边形 $B C D E$ 的面积等于 $△ A B E$ 面积的5倍，则 $k$ 的值等于．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, B C = 10, A C = 24, D$ 为斜边 $A B$ 的中点， $P$ 是边 $A C$ 上的一个动点，将 $△ A P D$ 沿 $P D$ 翻折得到 $△ A^{'} P D$ ，当直线 $A^{'} P$ 与 $A B$ 垂直时， $A P$ 的长为．

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三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16. 计算

(1)、 $4 \times (- 1) + (- 2)^{2} \div | 5 - 7 |$ ；

(2)、 $(\frac{3}{x + 1} - x + 1) \div \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 1}$ ．

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17. 新学期开始了，同学们将走出教室进行适当的体育锻炼，某校9.1班想集体购买跳绳和毽子，已知购买2条跳绳和3个毽子，需花费26元，购买1条跳绳和4个毽子，需花费18元．

(1)、求跳绳和毽子的单价各是多少元？

(2)、经商谈，商家给予9.1班购买一条跳绳即赠送一个毽子的优惠，如果9.1班需要毽子的数量是跳绳数量的2倍还多8个，且该班级购买跳绳和毽子的总费用不超过260元，那么该班级最多可购买多少条跳绳？

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18. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生“排球垫球成绩”和“掷实心球成绩”的情况，从中随机抽取若干名男生进行这两项测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：排球垫球成绩如图（不完整）所示（成绩用x表示，单位：个．分成六组：
A、 $x < 10$ ；B、 $10 \leq x < 15$ ；C、 $15 \leq x < 20$ ；D、 $20 \leq x < 25$ ；E、 $25 \leq x < 30$ ；F、 $30 \leq x$ ）．
信息二：排球垫球成绩在D、 $20 \leq x < 25$ 这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；
信息三：掷实心球成绩（成绩用 $y$ 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：
分组
$y < 6.0$
$6.0 \leq y < 6.8$
$6.8 \leq y < 7.6$
$7.6 \leq y < 8.4$
$8.4 \leq y < 9.2$
$9.2 \leq y$
人数
2
$m$
10
9
6
2
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：
学生
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
学生6
排球垫球（个）
26
25
23
22
22
15
掸实心球（米）
▲
7.8
7.8
▲
8.8
9.2
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、求出被随机抽取的男生人数，并补全条形统计图：

(2)、下列结论正确的是；（填序号）
① $m = 11$ ；
②排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于 $60 %$ ；
③掷实心球成绩的中位数记为 $n$ ，则 $6.8 \leq n < 7.6$ ；
④若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；

(3)、若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．

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19. 小强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在=段时间内，“水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：

(1)、求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式；

(2)、当甲壶中水温刚达到80℃时，求此刻乙壶中水的温度？

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20. 塔山阻击战革命烈士纪念碑（图1）位于葫芦岛市区以东12公里的连山区塔山乡塔山村，是“全国爱国主义教育示范基地”．某校“综合与实践”活动小组借助无人机测量纪念碑主碑 $A B$ 的高度．如图2，先将无人机升至距离地面10米高的点 $C$ 处，测得主碑最高点 $A$ 的仰角 $∠ M C A$ 为 $37 °$ ，再将无人机从点 $C$ 处竖直向上升高至距离地面15.8米高的点 $D$ 处，测得点 $A$ 的俯角 $∠ N D A$ 为 $45 °$ ，已知点 $A, B, C, D, E$ 在同一平面内，求纪念碑主碑 $A B$ 的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60, c o s 37 ° \approx 0.80, t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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21. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O, A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，以 $E D, E B$ 为邻边作平行四边形 $E D F B$ ，延长 $F B$ 交 $A C$ 延长线于点 $G$ ．

(1)、求证： $D F$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $t a n A = 2, C G = 4$ ，求 $B F$ 的长．

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22. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点 $A$ 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里 $O A$ 表示起跳点 $A$ 到地面 $O C$ 的距离， $O A = 45 m$ ，以 $O$ 为坐标原点，以地面的水平线 $O C$ 为 $x$ 轴， $O A$ 所在的直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．某运动员在 $A$ 处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到 $x$ 轴的距离 $y (m)$ 与水平方向移动的距离 $x (m)$ 满足 $y = a x^{2} + 2 x + c (a \neq 0)$ ．在着陆坡上设置点 $K$ 作为基准点，点 $K$ 与 $A O$ 相距 $30 m$ ，高度（与 $O C$ 距离）为 $5 m$ ，着陆点在 $K$ 点或超过 $K$ 点视为成绩达标．

(1)、若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为 $10 m$ 时，恰好达到最大高度，试判断他的这次试跳落地点能否达标，说明理由；

(2)、研究发现，运动员的运动轨迹与清出速度 $v (m / s)$ 的大小有关，下表是某运动员7次试跳的 $a$ 与 $v^{2}$ 的对应数据：
$v^{2}$
150
170
190
210
230
250
270
$a$
$- \frac{1}{6}$
$- \frac{5}{34}$
$- \frac{5}{38}$
$- \frac{5}{42}$
$- \frac{5}{46}$
$- \frac{1}{10}$
$- \frac{5}{54}$
①猜想 $a$ 关于 $v^{2}$ 的函数类型，求函数解析式，并任选一对对应值验证；
②当滑出速度 $v$ 为多少 $m / s$ 时，运动员的成绩刚好能达标？

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23.

(1)、【问题初探】
如图1， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $B E$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，且 $A E = E F$ ，求证： $A C = B F$ ．
小明和小亮两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小明同学的思考过程：如图2，延长 $F D$ 到点 $G$ ，使 $D G = D F$ ，连接 $C G$ ，构造 $△ D G C$ ……；
②小亮同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点 $B$ 作 $B G ∥ A C$ 交 $A D$ 延长线于点G ，于是得到 $△ B D G$ ……；请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．

(2)、【迁移应用】
请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．如图4，已知等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边上一动点，连接 $A D$ ，将 $A D$ 绕着 $D$ 顺时针旋转120°得到 $D E$ ，连接 $B E$ ，取 $B E$ 中点 $F$ ，连接 $D F$ ，猜想 $C D$ 与 $D F$ 的数量关系，并证明你的猜想；

(3)、【能力提升】
如图5，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 是斜边 $B C$ 上的一点，且 $B D < C D$ ，连接 $A D$ ，将线段 $A D$ 绕 $D$ 点顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $D E$ ，连接线段 $B E$ ，点 $F$ 为线段 $B E$ 的中点，连接 $D F$ ．若 $∠ C D E = 15 °, D F = \sqrt{2}$ ，求线段 $C D$ 的长度．

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分组	$y < 6.0$	$6.0 \leq y < 6.8$	$6.8 \leq y < 7.6$	$7.6 \leq y < 8.4$	$8.4 \leq y < 9.2$	$9.2 \leq y$
人数	2	$m$	10	9	6	2

学生	学生1	学生2	学生3	学生4	学生5	学生6
排球垫球（个）	26	25	23	22	22	15
掸实心球（米）	▲	7.8	7.8	▲	8.8	9.2

$v^{2}$	150	170	190	210	230	250	270
$a$	$- \frac{1}{6}$	$- \frac{5}{34}$	$- \frac{5}{38}$	$- \frac{5}{42}$	$- \frac{5}{46}$	$- \frac{1}{10}$	$- \frac{5}{54}$