辽宁省大连市沙河口区2023-2024学年八年级下学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2024-05-21 类型：月考试卷

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 中， $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 1$ B、 $x > 1$ C、 $x \leq 1$ D、 $x < 1$

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2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）

A、2，4，4 B、 $\sqrt{3}$ ， 2，2 C、3，4，5 D、5，12，14

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{5} = \sqrt{7}$ B、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$ D、 $\sqrt{2} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（）

A、10米 B、12米 C、14米 D、16米

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5. 实数 $a$ 在数轴上的位置如图所示，则化简： $| a - 2 | + \sqrt{{(a - 4)}^{2}}$ 的结果为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $2 a - 6$ D、 $- 2 a + 6$

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6. 如图，一轮船以16海里/时的速度从港口 $A$ 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口 $A$ 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）

A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里

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7. 已知 $x = 1 + \sqrt{5}$ ，则代数式 $x^{2} - 2 x - 6$ 的值是（）

A、 $- 2 \sqrt{5} - 8$ B、 $- 10$ C、 $- 2$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8. 如图，数轴上点A、B、C分别对应 $1$ 、 $2$ 、 $3$ ，过点 $C$ 作 $P Q ⊥ A B$ ，以点C为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交 $P Q$ 于点D，以点A为圆心， $A D$ 长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{5} + 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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9. 把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形，长为 $\sqrt{30} c m$ ，宽为5cm盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图2中两块阴影部分的周长和是（）

A、20cm B、 $5 \sqrt{30} c m$ C、 $(2 \sqrt{30} + 5) c m$ D、 $5 (\sqrt{30} - 1) c m$

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二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

10. 计算： $\sqrt{6} \div \sqrt{3} =$ .

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11. 据研究，高空抛物下落的时间 $t$ （单位：s）和高度 $h$ （单位：m）近似满足公式： $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} (g \approx 10 m / s^{2})$ ，从60m高空抛物到落地的时间为s.

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12. 计算： ${(\sqrt{5} - 2)}^{2024} {(\sqrt{5} + 2)}^{2023} =$ .

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13. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何.”大意是说：如图，推开两扇门（ $A D$ 和 $B C$ ），门边缘 $D$ 、 $C$ 两点到门槛 $A B$ 的距离为1尺（1尺=10寸），两扇门间的缝隙 $C D$ 为2寸， $A D = B C = A O = B O$ ，那么门的宽度即 $A B$ 的长为寸.

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14. 如图，线段 $A B$ 的长为4， $△ B C D$ 是等腰直角三角形， $∠ B D C = 90 °$ ， $B D = C D$ ， $B C$ 的长为 $2 \sqrt{2}$ ，将 $△ B C D$ 绕点 $B$ 旋转一周，连接 $A C$ ，当 $A$ ， $C$ ， $D$ 三点共线时，线段 $A C$ 的长为.

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三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

15. 计算

(1)、 $\sqrt{24} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{18} + \sqrt{32}$ ；

(2)、 ${(\sqrt{5} + 1)}^{2} - \sqrt{2} \times \sqrt{10}$ .

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16. 小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据
①测得水平距离 $B C$ 的长为24米.
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $A B$ 的长为25米.
③小龙牵线放风筝的手到地面的距离 $C D$ 长为1.6米.

(1)、求风筝到地面的距离线段 $A D$ 的长；

(2)、如果小龙想要风筝沿 $C A$ 方向再上升11米， $B C$ 和 $C D$ 的长度不变，则他应该再放出多少米线？

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17. 著名的赵爽弦图（如图1），其中四个直角三角形较大的直角边长都为 $a$ ，较小的直角边长都为 $b$ ，斜边长都为 $c$ ，大正方形的面积可以表示为 $c^{2}$ ，也可以表示为 $4 \times \frac{1}{2} a b + {(a - b)}^{2}$ ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 $a$ ， $b$ ，斜边长为 $c$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

(1)、在图2中，四边形 $A C F E$ 是正方形，利用两种不同的方法表示出四边形 $A B E D$ 的面积，也可以证明勾股定理，请你利用图2推导勾股定理；

(2)、如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $C$ ，河边原有两个取水点 $A$ 、 $B$ ， $A B = A C$ ，由于某种原因，由 $C$ 到 $A$ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 $H$ （ $A$ 、 $H$ 、 $B$ 在同一条直线上），并新修一条路 $C H$ ，且 $C H ⊥ A B$ .测得 $C H = 1.2$ 千米， $H B = 0.8$ 千米，求新路 $C H$ 比原路 $C A$ 少多少千米？

(3)、在第（2）问中，若 $A B \neq A C$ ，如图4， $C H ⊥ A B$ ， $A C = 1$ 千米， $B C = 1.7$ 千米， $A B = 2.1$ 千米，求 $C H$ 的长.

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18. 已知 $x = 2 - \sqrt{2}$ ， $y = 2 + \sqrt{2}$ .

(1)、求 $x^{2} + x y + y^{2}$ 的值；

(2)、求 $\frac{y}{x} - \frac{x}{y}$ 的值.

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19. 如图，台风中心沿东西方向 $A B$ 由 $A$ 向 $B$ 移动，已知点 $C$ 为一海港，且点 $C$ 与直线 $A B$ 上的两点 $A$ 、 $B$ 的距离分别为 $A C = 300 k m$ ， $B C = 400 k m$ ，又 $A B = 500 k m$ ，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.

(1)、请通过计算说明，海港 $C$ 会受到台风影响；

(2)、若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？

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20. 观察下列等式：
① $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$ ；
② $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；
③ $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ；
…
解答下列问题：

(1)、写一个无理数，使它与 $2 - \sqrt{3}$ 的积为有理数，你写出的无理数是；

(2)、利用你观察到的规律，化简 $\frac{1}{2 \sqrt{3} + \sqrt{11}}$ ；

(3)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + 2} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2024}}$ .

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21.

(1)、【问题建立】
如图1， $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 都是等边三角形，当点 $A$ ， $E$ ， $D$ 在一条直线上时，把 $△ A B D$ 沿直线 $A D$ 翻折，点 $B$ 的对应点 $F$ 恰好落在线段 $C D$ 上.求证： $A D = C D + F D$ .

(2)、【问题应用】
如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上，连接 $A D$ ，将 $△ A B D$ 沿直线 $A D$ 翻折得到 $△ A E D$ ，连接 $C E$ 并延长交 $A D$ 的延长线于点 $F$ .求证： $C F^{2} + E F^{2} = 2 A B^{2}$ .

(3)、【问题迁移】
如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 下方， $∠ B D C = 90 °$ ，将 $△ A B D$ 沿直线 $A D$ 翻折得到 $△ A F D$ ，点 $B$ 的对应点 $F$ 恰好落在线段 $C D$ 上.求证： $C D + F D = \sqrt{2} A D$ .

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22.

(1)、【问题初探】
在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 在 $A C$ 边上，连接 $B D$ ，将线段 $B D$ 绕点 $D$ 顺时针旋转90°得到线段 $D E$ ，连接 $E A$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $F$ .
求证： $A F = \sqrt{2} A C$ .
①如图2，小辉同学要证明 $∠ C A F = 45 °$ ，从而给出如下解题思路：过点 $E$ 作 $E M ⊥ C A$ 交 $C A$ 的延长线于点 $M$ .
②如图3，小光同学要证 $∠ C A E = 135 °$ ，从而给出如下解题思路：在 $B C$ 上截取 $C N = C D$ ，连接 $D N$ .
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.

(2)、【类比分析】
李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答.
如图4，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ ， $E$ 在 $A B$ 边上， $A D = B E$ ，连接 $C D$ ， $C E$ ，点 $F$ 在 $B C$ 边上，连接 $D F$ ，且 $D C = D F$ .求证： $C F = \sqrt{2} B E$ .

(3)、【学以致用】
如图5，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 6$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $D$ 在 $A C$ 边上， $A D = 2$ ，连接 $B D$ ，将线段 $B D$ 绕点 $D$ 逆时针旋转120°得到线段 $D E$ ，连接 $E C$ 并延长交 $B A$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $D F$ ，求 $△ A D F$ 的面积.

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测量示意图
测量数据	①测得水平距离 $B C$ 的长为24米.
	②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $A B$ 的长为25米.
	③小龙牵线放风筝的手到地面的距离 $C D$ 长为1.6米.