辽宁省鞍山市岫岩满族自治县2023-2024学年八年级下学期数学4月月考试卷

试卷更新日期：2024-05-21 类型：月考试卷

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一、选择题（本题共10小题、每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下面式子是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{a^{2} + 1}$ B、 $\sqrt[3]{33}$ C、 $\sqrt{- 1}$ D、 $\frac{1}{2}$ a

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2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）

A、 $3, 4, 5$ B、 $5, 12, 13$ C、 $1.5, 2, 3$ D、 $7, 24, 25$

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3. 下列各式中是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.2}$ B、 $\sqrt{54}$ C、 $\sqrt{50 a^{3}}$ D、 $\sqrt{30}$

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4. 下列算式中，正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{\frac{4}{3}} \div \sqrt{\frac{1}{9}} = 3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{4 + \frac{1}{2}} = 2 + \sqrt{\frac{1}{2}}$

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5. 下列命题中，其逆命题不成立的是（）

A、若两个数的差为正数，则这两个数都为正数 B、等腰三角形的两个底角相等 C、若 $a b = 1$ ，则 $a$ 与 $b$ 互为倒数 D、如果 $| a | = | b |$ ，那么 $a^{2} = b^{2}$

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6. 如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（）

A、15尺 B、24尺 C、25尺 D、28尺

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7. 估计 $(2 \sqrt{30} - \sqrt{24}) \cdot \sqrt{\frac{1}{6}}$ 的值应在（）

A、1和2之间 B、2和3之间 C、3和4之间 D、4和5之间

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8. 已知 $△ A B C$ 的三边长分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 $\sqrt{a - 5} + {(b - 12)}^{2} + | c - 13 | = 0$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、30 B、60 C、65 D、无法计算．

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9. 如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{4}{\sqrt{10}}$ D、 $\frac{2}{\sqrt{10}}$

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10. 如图， $∠ A O B = 60 °, P$ 为 $∠ A O B$ 内一点， $P$ 到 $O A 、 O B$ 的距离 $P M 、 P N$ 分别为2和11，则 $O P$ 的长（）

A、15 B、12 C、11 D、14

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二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 若式子 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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12. 已知直角三角形的两边长分别为6和10，则第三边的长为．

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13. 若 $x, y$ 都为实数，且 $y = 2020 \sqrt{x - 5} + 2021 \sqrt{5 - x} + 1$ ，则 $x^{2} + y =$ ．

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14. 如图， $D$ 为 $△ A B C$ 内一点， $∠ A D B = 90 °, A D = 3, B D = 4, A C = 5, B C = 5 \sqrt{2}$ ，则图中阴影部分的面积为．

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15. 如图，将 $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}, \cdot \cdot \cdot$ ，按下列方式排列．若规定 $(m, n)$ 表示第 $m$ 排从左向右第 $n$ 个数，则 $(5, 4)$ 与 $(15, 2)$ 表示的两数之积是．

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三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16. 计算：

(1)、 $(\sqrt{6} - 2 \sqrt{5}) \times \sqrt{3} - 6 \sqrt{\frac{1}{2}}$

(2)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{3} + 2 \sqrt{\frac{1}{5}} \times \sqrt{30} - {(2 \sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2}$

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17. 一个三角形的三边长分别为5 $\sqrt{\frac{x}{5}}$ ， $\frac{1}{2} \sqrt{20 x}$ ， $\frac{5}{4} x \sqrt{\frac{4}{5 x}}$ ．

(1)、求它的周长（要求结果化简）；

(2)、请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．

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18. 如图，连接四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ，已知 $∠ B = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $C D = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $△ A C D$ 是直角三角形；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积.

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19. 如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港。

(1)、求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.414， $\sqrt{3}$ ≈1.732）；

(2)、确定C港在A港的什么方向。

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20. 高空拋物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间 $t$ （单位： $s$ ）和高度 $h$ （单位： $m$ ）近似满足公式 $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ （不考虑风速的影响， $g \approx 10 m / s^{2}$ ）．

(1)、求从 $40 m$ 高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）

(2)、已知高空抛物动能（单位： $J$ ） $= 10 \times$ 物体质量（单位： $k g$ ） $\times$ 高度（单位： $m$ ），某质量为 $0.2 k g$ 的玩具在高空被抛出后经过 $4 s$ 后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要 $65 J$ 的动能）

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21. 在某县“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C, E$ 是 $A C$ 上的一点， $C E = 50, B C = 130, B E = 120$ ．

(1)、判断 $△ A B E$ 的形状，并说明理由．

(2)、求 $△ A B C$ 的周长．

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22. 观察、思考、解答：
${(\sqrt{2} - 1)}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} - 2 \times 1 \times \sqrt{2} + 1^{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = 3 - 2 \sqrt{2}$
反之 $3 - 2 \sqrt{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$
$∴ 3 - 2 \sqrt{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$ $∴ \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$

(1)、仿上例，化简： $\sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$ ；

(2)、若 $\sqrt{a + 2 \sqrt{b}} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$ ，则 $m 、 n$ 与 $a 、 b$ 的关系是什么？并说明理由；

(3)、已知 $x = \sqrt{4 - \sqrt{12}}$ ，求 $(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}) \cdot \frac{x^{2} - 4}{2 (x - 1)}$ 的值（结果保留根号）

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23. 我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将 $△ A B C$ 沿 $A D$ 翻折，使点 $C$ 落在 $A B$ 边上的点 $C^{'}$ 处，则 $△ A D C ≌ △ A D C^{'}$ ．
尝试解决：

(1)、如图2， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A C = 6, B C = 8$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A D$ 翻折，使点 $C$ 落在 $A B$ 边上的点 $C^{'}$ 处，求 $C D$ 的长．

(2)、如图3，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 8, A D = 6$ ，点 $P$ 在边 $A D$ 上，连接 $B P$ ，将 $△ A B P$ 沿 $B P$ 翻折，使点 $A$ 落在点 $E$ 处， $P E 、 B E$ 分别与 $C D$ 交于点 $G 、 F$ ，且 $D G = E G$ ．
①求证： $P E = D F$ ；
②求 $A P$ 的长．

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