广西壮族自治区河池市宜州区2023-2024学年八年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-05-21 类型：期中考试

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一、选择题：（每小题中只有一个选项符合要求，每小题3分，共36分．）

1. 下列各式中，一定是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{- 4}$ B、 $\sqrt{3 a}$ C、 $\sqrt[3]{27}$ D、 $\sqrt{m^{2} + 1}$

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2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{0.3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$

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3. 在下列长度的各组线段中，不能组成直角三角形的是（）

A、2，4，5 B、6，8，10 C、13，12，5 D、7，24，25

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4. 下列各式正确的是（）

A、 $\sqrt{16} = \pm 4$ B、 $\sqrt{(- 5)^{2}} = - 5$ C、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} = 5 \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$

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5. 如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（）

A、5m B、10m C、20m D、40m

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6. 若等式 $\sqrt{x (x - 6)} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x - 6}$ 成立，则实数x的取值范围是（）

A、x≥0 B、0≤x≤6 C、x≥6 D、x为一切实数

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7. 一个直角三角形的两边长分别是1和 $\sqrt{3}$ ，则第三边长为（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、2或 $\sqrt{2}$

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8. 若x ， y为实数，且 $\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{1 - 2 x} + y = 6$ ，则xy的值为（）

A、0 B、2 C、3 D、不能确定

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9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC ， BD相交于点O ，过点A作AH⊥BC于点H ，已知BO＝4， $S_{菱形 A B C D}$ ＝24，则AH＝（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{48}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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10. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、②④

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11. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 $A B$ 长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即 $A^{'} C$ ＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离 $A^{'} D$ 就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 $O A$ 长为（）

A、13.5尺 B、14尺 C、14.5尺 D、15尺

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12. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF ，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN ，如图②．
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（）
图① 图②

A、3 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、1

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二、填空题：（每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上对应的区域内．）

13. 式子 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是．

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14. $\sqrt{18}$ 与最简二次根式 $5 \sqrt{m + 1}$ 能合并，则m＝．

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15. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC ， BD相交于点O ，有以下条件：①∠BAD＝∠BCD ， ∠ABC＝∠ADC；②AB＝CD ， AD＝AC；③AD//BC ， AB＝CD；④OA＝OC ， OB＝OD ．其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是．（填序号）

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16. 若a ， b ， c是△ABC的三边，且 $| a - 8 | + (b - 15)^{2} + \sqrt{c - 17} = 0$ ，则△ABC的面积为．

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17. 菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O ， DE⊥AB于E ， AC＝9，OE＝3，则 $S_{菱形 A B C D}$ ＝．

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18. 如图是一张矩形纸片 $A B C D$ ，点 $M$ 是对角线 $A C$ 的中点，点 $E$ 在 $B C$ 边上，把 $△ D C E$ 沿直线 $D E$ 折叠，使点 $C$ 落在对角线 $A C$ 上的点 $F$ 处，连接 $D F$ ， $E F .$ 若 $M F = A B$ ，则 $∠ D A F =$ 度 $.$

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三、解答题：（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步嚎．请将解答写在答题卡上对应的区域内．）

19. 计算： $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} + \sqrt{24} + （ \sqrt{2} + 1 ）（ \sqrt{2} - 1 ）$

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20. 已知：如图在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，AB＝26m，BC＝24m．求绿地的面积．

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21. 已知E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，且AF＝CE ， DF＝BE ， DF//BE ．求证：四边形ABCD是平行四边形．

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22. 如图，在四边形ABCD中，AB//DC ， AB＝AD ，对角线AC ， BD相交于点O ， AC平分∠BAD ，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E ，连接OE ．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、若AB＝ $\sqrt{5}$ ， BD＝2，求OE的长．

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23. 如图，将正方形ABCD的各边AB ， BC ， CD ， DA顺次延长至E ， F ， G ， H ，且使BE＝CF＝DG＝AH ．

(1)、求证：四边形EFGH是正方形；

(2)、若AH＝1，AB＝2，求正方形EFGH的面积．

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24. 如图，四边形ABCD中，AD//BC ， ∠ABC＝90°，DB＝DC ， E是BC的中点，连接DE ．

(1)、求证：四边形ABED是矩形．

(2)、当△DBC满足什么条件时，四边形ABED是正方形？请说明理由．

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25. 我们将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}), (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ 称为一对“对偶式”，因为 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ $= (\sqrt{a})^{2} - (\sqrt{b})^{2}$ $= a - b$ ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ 和 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ 中的“”去掉．例如：
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；
像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，解答下面的问题：

(1)、分母有理化 $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ 的值为．

(2)、分母有理化 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ 的值为（n为正整数）

(3)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2023}}$ ．

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26. 探索与发现
小李同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：
如图，在边长为3的正方形ABCD的AB边上取定点E ，使AE＝1，在AD边上设置动点P ，连接PE ，以PE为边在AB的上方作正方形PEFG ，接AF ， BF ．

(1)、小李同学通过观察发现图中∠APE＝∠FEB ，请给出证明；

(2)、探索过程中发现，在点P运动过程中，△AFB的面积是个定值，请证明并求出这个定值；

(3)、进一步探索后发现，随着点P的运动，△AFB的周长会随点P位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出△AFB周长的最小值．

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