广东省河源市东源县2023-2024学年七年级下学期数学期中试题

试卷更新日期：2024-05-21 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）

1. 计算 $(- 2024)^{0}$ 的结果是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $- 2024$

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2. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为 $r$ ，则圆周长 $C$ 与 $r$ 的关系式为 $C = 2 π r$ .下列判断正确的是（）

A、2是变量 B、 $r$ 是变量 C、 $π$ 是变量 D、 $C$ 是常量

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3. 如图，直线 $A B$ ， $C D$ 交于点 $O$ ，若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2$ 等于（）

A、 $130 °$ B、 $40 °$ C、 $60 °$ D、 $50 °$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a \cdot a^{2} = a^{2}$ B、 $5 a \cdot 5 b = 5 a b$ C、 $a^{5} \div a^{3} = a^{2}$ D、 $2 a + 3 b = 5 a b$

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5. 已知弹簧的长度 $y c m$ 与所挂物体的质量 $x k g$ 之间有如下关系，则（）
$x / k g$
0
1
2
3
4
5
$y / c m$
6
6.5
7
7.5
8
8

A、不挂物体时，弹簧的长度为 $6 c m$ B、质量每增加 $1 k g$ ，弹簧的长度增加 $0.5 c m$ C、 $y$ 随 $x$ 的增大而增大 D、质量为 $6 k g$ 时，弹簧的长度为 $8.5 c m$

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6. 如图，计划把河水引到水池 $A$ 中，先作 $A B ⊥ l$ ，垂足为 $B$ ，然后沿 $A B$ 开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是（）

A、垂线段最短 B、两点之间线段最短 C、过一点只能作一条直线 D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

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7. 有一游泳池注满水，现按一定的速度将水排尽，然后进行清扫，再按相同的速度注满清水，使用一段时间后，又按相同的速度将水排尽，则游泳池的存水量（立方米）随时间（小时）变化的大致图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图， $m / / n$ ， $△ A B C$ 的顶点 $C$ 在直线 $m$ 上， $∠ B = 70 °$ ， $∠ 1 = 20 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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9. 若 $a + b = 4$ ， $a b = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ （）

A、 $- 14$ B、14 C、7 D、 $- 7$

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10. 现定义一种新运算“※”，对任意有理数 $m$ 、 $n$ 都有 $m ※ n = m n (m - n)$ ，则 $(a + b) ※ (a - b) =$ （）

A、 $2 a b^{2} - 2 b^{2}$ B、 $2 a^{2} b - 2 b^{3}$ C、 $2 a b^{2} + 2 b^{2}$ D、 $2 a b - 2 a b^{2}$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）

11. 比较大小： $(- 3)^{0}$ $3^{- 2}$ .

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12. 谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是．

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13. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为．

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14. 已知 $∠ α = 65 °$ ，则 $∠ α$ 的余角等于 $°$ .

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15. 一个长方形的周长为14，其中它的长 $x$ 为自变量，宽 $y$ 为因变量，则 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为.

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16. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，...依此规律，第 $n$ 个图案中有个白色圆片（用含 $n$ 的代数式表示）.

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三、解答题（一）（本大题共3小题，第17题和第18题各4分，第19题6分，共14分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17. 计算： $(- 1)^{2024} + | - 2 | - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

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18. 计算： $(2 x^{2} y + 6 x y^{3}) \div 2 x y$

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19. 已知：如图，点P为 $∠ A O B$ 的边 $O B$ 上一点，

(1)、求作：过点P作 $∠ C P B$ ，使得 $∠ C P B = ∠ A O B$ ；（要求保留作图痕迹）

(2)、直线CP和OA的位置关系是.

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四、解答题（二）（本大题共3小题，第20题6分，第21题8分，第22题10分，共24分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

20. 如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
碗的数量（只）
1
2
3
4
5
…
高度 $(c m)$
4
5.2
6.4
7.6
8.8
…

(1)、上述两个变量之间的关系中，自变量是，因变量是.

(2)、用 $h (c m)$ 表示这摞碗的高度，用 $x$ （只）表示这摞碗的数量，请用含有 $x$ 的代数式表示 $h$ ；

(3)、若这摞碗的高度为 $11.2 c m$ ，求这摞碗的数量.

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21. 先化简，再求值： $(x + y)^{2} + x (y - 2 x) + (x + y) (x - y)$ ，其中 $x = 1$ ， $y = 2$ .

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22. 如图1，点 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 在同一条直线上， $∠ B O C = 40 °$ ， $O D$ 平分 $∠ A O C$ .从点 $O$ 出发画一条射线 $O E$ ，使得 $∠ C O E = 90 °$ .请画出满足条件的射线 $O E$ ，并求出 $∠ D O E$ 的度数.

(1)、如图2，已画出射线 $O E$ 的第一种位置，请将解题过程补充完整：
解：因为 $∠ A O B = 180 °$ ， $∠ B O C = 40 °$
所以 $∠ A O C = ∠$ $- ∠$ = $°$
因为 $O D$ 平分 $∠ A O C$
所以 $∠ C O D = \frac{1}{2} ∠$ $=$ $°$
因为 $∠ C O E = 90 °$
所以 $∠ D O E = ∠$ $- ∠$ $=$ $°$

(2)、请在图3中画出射线 $O E$ 的第二种位置.

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五、解答题（三）（本大题共3小题，第23题10分，第24题和第25题各12分，共34分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

23. “天宫课堂”开讲，传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情.小明在周末从家骑自行车到本市科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，然后继续前往科技馆.小明离科技馆的距离 $(m)$ 与离家的时间 $(m i n)$ 的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：

(1)、小明家到本市科技馆的距离是 $m$ ；

(2)、小明等待红绿灯所用的时间为 $m i n$ ；

(3)、图中点 $C$ 表示的意义是.

(4)、小明在整个途中，哪个时间段骑车速度最快？

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24. 如图，边长为 $a$ 的大正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）

(1)、上述操作能验证的等式是（）。（请选择正确的一个）
A. $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ ；B. $a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ ；C. $a^{2} + a b = a (a + b)$

(2)、请应用（1）中的等式完成下列各题：
①已知 $a^{2} - b^{2} = 28$ ， $a + b = 7$ ，则 $a - b =$ ▲ ；
②计算： $5 0^{2} - 4 9^{2} + 4 8^{2} - 4 7^{2} + ⋯ 4^{2} - 3^{2} + 2^{2} - 1^{2}$ .
③计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times (1 - \frac{1}{4^{2}}) \times ⋯ \times (1 - \frac{1}{4 9^{2}}) (1 - \frac{1}{5 0^{2}})$

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25. 问题情景：如图1， $A B / / C D$ ， $∠ P A B = 130 °$ ， $∠ P C D = 120 °$ ，求 $∠ A P C$ 的度数.

(1)、天天同学看过图形后立即口答出： $∠ A P C = 110 °$ ，请你补全他的推理依据.
如图2，过点 $P$ 作 $P E / / P B$ ，
$∵$ $A B / / C D$ ，
$∴$ $P E / / A B / / C D$ .
$∴ ∠ A +$ （） $= 180 °$
$∠ C +$ （） $= 180 °$ .（）
$∵ ∠ P A B = 130 °$ ， $∠ P C D = 120 °$
$∴ ∠ A P E = 50 °$ ， $∠ C P E = 60 °$
$∴ ∠ A P C = ∠ A P E + ∠ C P E = 110 °$

(2)、问题迁移：
如图3， $A D / / B C$ ，当点 $P$ 在 $A$ 、 $B$ 两点之间运动时， $∠ A D P = ∠ a$ ， $∠ B C P = ∠ β$ ，求 $∠ C P D$ 与 $∠ a$ ， $∠ β$ 之间有何数量关系？请说明理由.

(3)、在（2）的条件下，如果点 $P$ 在 $A$ 、 $B$ 两点外侧运动时（点 $P$ 与点 $A$ 、 $B$ 、 $O$ 三点不重合），请你直接写出 $∠ C P D$ 与 $∠ a$ ， $∠ β$ 之间的数量关系.

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$x / k g$	0	1	2	3	4	5
$y / c m$	6	6.5	7	7.5	8	8

碗的数量（只）	1	2	3	4	5	…
高度 $(c m)$	4	5.2	6.4	7.6	8.8	…