浙江省杭州市余杭区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-21 类型：期中考试

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一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．

1. 当 $a = 6$ 时，二次根式 $\sqrt{a - 2}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - 2 x = 0$ B、 $x y = 1$ C、 $2 x^{2} - y^{2} = 0$ D、 $x^{2} + 4 = \frac{1}{x}$

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3. 小康同学连续15天进行了体温测量，结果统计如下表：
体温（℃）
36.3
36.4
36.6
36.7
36.9
天数（天）
3
4
5
2
1
这15天中，小康体温的众数为（）

A、36.3℃ B、36.4℃ C、36.6℃ D、36.7℃

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4. 已知一个多边形的内角和等于外角和的3倍，则这个多边形为（）

A、五边形 B、六边形 C、七边形 D、八边形

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5. 已知一元二次方程 $3 x^{2} - m x - m = 0$ 的一个根是2，则m的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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6. 在直角坐标系中，有四个点 $P (2, \sqrt{3})$ ， $Q (- \sqrt{2}, \sqrt{6})$ ， $M (- 2, \sqrt{3})$ ， $N (\sqrt{3}, 2)$ ，则这四个点中到原点距离最远的点是（）

A、P B、Q C、M D、N

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7. 水果店里有一批大小不一的西瓜，餐厅经理选择了部分大小均匀的西瓜．设水果店里的西瓜的质量（单位：kg）平均数和方差分别为 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ ，餐厅经理选购的西瓜的质量的平均数和方差分别为 $\bar{x_{1}}$ ， $s_{1}^{2}$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $s^{2} > s_{1}^{2}$ B、 $s^{2} < s_{1}^{2}$ C、 $\bar{x} > \bar{x_{1}}$ D、 $\bar{x} < \bar{x_{1}}$

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8. 设 $m = \sqrt{47}$ ，则对于实数m的范围判断正确的是（）

A、 $4 < m < 5$ B、 $5 < m < 6$ C、 $6 < m < 7$ D、 $7 < m < 8$

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9. 已知关于x的一元二次方程 $k x^{2} - (4 k - 1) x + 4 k - 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）

A、 $k < \frac{1}{4}$ B、 $k < \frac{1}{4}$ 且 $k \neq 0$ C、 $k > - \frac{1}{4}$ D、 $k > - \frac{1}{4}$ 且 $k \neq 0$

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10. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $A B = 10$ ，则点C到对角线BD所在直线的距离为（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{12 \sqrt{13}}{13}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $\frac{24 \sqrt{13}}{13}$

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二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分．

11. 计算：3²=

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12. 一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的常数项是．

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13. 射击小组6位同学在一次组内测试的成绩（单位：环）分别为86，82，85，83，85，93．关于这组数据的中位数为．

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14. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两个根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ ．

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15. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ B C D$ 的平分线BE ， CF分别与AD交于点E ， F ．若点E与点F重合，且 $A B = m$ ，则 $B C =$ ．（用含m的代数式表示）

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16. 已知 $x^{2} + 4 (m + 1) x + 20 m$ 是一个关于x的完全平方式，则常数 $m =$ ．

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三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{\frac{2}{3}} \times \sqrt{\frac{3}{2}}$

(2)、 $(2 - \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})$

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18. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 5 x = 0$

(2)、 $x^{2} - 10 x + 16 = 0$

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19. 已知 $a = 2 + \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{7}$ ，求代数式 $a^{2} + b^{2} - 4 a + 4$ 的值．

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20. 某校对九年级3个班级进行综合素质考评，下表是它们五项素质考评得分表（以分为单位，每项满分为10分）．
班级
行为规范
学习成绩
校运动会
艺术获奖
劳动卫生
九年级（1）班
10
10
6
10
7
九年级（5）班
10
8
8
9
8
九年级（8）班
9
10
9
6
9

(1)、计算各班五项考评分的平均数．

(2)、现要从三个班级中选送一个班级为市级先进班集体候选班，并设定如下规则：
行为规范：学习成绩：校运动会：艺术获奖：劳动卫生 $= 3 : 3 : 2 : 1 : 1$ ．请通过计算说明推荐市级先进班集体候选班是哪个班？

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线交BC边于点M ， $∠ D C B$ 的平分线交AD于点N ．

(1)、求证： $A M ∥ C N$ ．

(2)、求证： $A M = C N$ ．

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22. 如图，把一根长为80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．

(1)、要使这两个正方形的面积之和等于 $200 c m^{2}$ ，应该怎样剪？

(2)、这两个正方形的面积之和可能等于 $488 c m^{2}$ 吗？请说明理由．

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23. 【综合与实践】
【问题情境】对于关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （a ， b ， c为常数，且 $a \neq 0$ ），求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与a ， b ， c之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：

(1)、当 $a + b + c = 0$ 时，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有一根是1．

(2)、当 $a + c = b$ 时，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有一根是－1．
请判断两个结论的真假，并说明原因．

(3)、【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程 ${(2023 x)}^{2} - 2022 \times 2024 x - 1 = 0$ 的较大的根为p ，方程 $x^{2} + 2023 x - 2024 = 0$ 的较小的根为q ，求 $p - q$ 的值．

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24. 如图1，在 $▱ A B C D$ 中，点E为AD中点，BA ， CE延长线交于点F ．

(1)、求证： $B A = A F$ ．

(2)、若 $∠ B C F = ∠ D C F$ 时，记AB与CD之间的距离为 $h_{1}$ ， AD与BC之间的距离为 $h_{2}$ ，求 $h_{1} : h_{2}$ 的值．

(3)、如图2，连结AC ， BD ，在（2）的条件下，求证： $A C^{2} + B D^{2} = 10 A B^{2}$ ．

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班级	行为规范	学习成绩	校运动会	艺术获奖	劳动卫生
九年级（1）班	10	10	6	10	7
九年级（5）班	10	8	8	9	8
九年级（8）班	9	10	9	6	9

体温（℃）	36.3	36.4	36.6	36.7	36.9
天数（天）	3	4	5	2	1