浙江省湖州市吴兴区2023-2024学年第二学期八年级数学期中试题

试卷更新日期：2024-05-21 类型：期中考试

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一、选择题：（本大题共10小题，共30分）

1. 下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 数据2、 $a$ 、3、4的平均数是3，则 $a$ 的值是 $($ $)$

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 下列各式中，是二次根式有（　　）
① $\sqrt{7}$ ；② $\sqrt{- 3}$ ；③ $\sqrt[3]{10}$ ；④ $\sqrt{3 - x}$ （x≤3）；⑤ $\sqrt{a - 3^{2}}$ ；⑥ $\sqrt{- x^{2} - 1}$ ； ⑦ $\sqrt{a b}$ （ab≥0）．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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4. 一个多边形的内角和是它的外角和的 $3$ 倍，则这个多边形的边数是（　　）

A、 $10$ B、 $8$ C、 $6$ D、 $5$

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5. 下列根式中，不是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{6}$

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6. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 配方后可变形为（　　）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 0$ B、 ${(x + 1)}^{2} = 0$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 2$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 2$

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7. 若a是方程 $x_{}^{2} + x - 1 = 0$ 的根，则3a²+3a+2024的值为（　　）

A、2021 B、2024 C、2027 D、2030

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8. 用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C ，则∠A＞60°”时，应先假设（　　）

A、∠A＝60° B、∠A＜60° C、∠A≠60° D、∠A≤60°

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9. 某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　）

A、20（1+2x）＝31.2 B、20（1+2x）﹣20＝31.2 C、20（1+x）²＝31.2 D、20（1+x）²﹣20＝31.2

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10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°， $A B = \frac{1}{2} B C$ ，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S_▱ABCD＝AC•CD；④S_{四边形OECD}＝ $\frac{3}{2}$ S_△AOD ，其中成立的个数为（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共6小题,共24分）

11. 当a＝﹣2时，二次根式 $\sqrt{3 + a}$ 的值是．

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12. 某校规定：学生的单科学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按2：3：5的比例计算所得．已知某学生本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是85分、90分和96分，那么他本学期数学学期综合成绩是分．

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13. 关于x的方程 $a x^{2} - 2 (a - 1) x + a = 0$ 有实数根，则a的取值范围为．

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14. 如果最简二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 与 $\sqrt{5}$ 是同类二次根式，那么x的值为．

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C$ ， $∠ D A B = 50 °$ ， $∠ C B A = 70 °$ ， P、M、N分别是 $A B 、 A C 、 B D$ 的中点，若 $B C = 6$ ，则 $△ P M N$ 的周长是．

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16. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．

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三、解答题（本大题共8小题，共66分）

17. 计算：

(1)、 $(\sqrt{24} - \sqrt{16}) \div \sqrt{2} - 2 \sqrt{\frac{1}{8}}$

(2)、 ${(\sqrt{3} + \sqrt{5})}^{2} + (\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)$

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18. 解方程：

(1)、2x﹣6＝(x﹣3)²

(2)、x²﹣4x﹣7＝0

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19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），（4，2），
C（3，5）．

(1)、请画出△A₁B₁C₁ ，使△A₁B₁C₁与△ABC关于原点成中心对称，并写出点A₁ ， B₁ ， C₁的坐标．

(2)、求△A₁B₁C₁的面积.

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20. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE=BF．

(1)、求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)、若AD⊥BD，AB=5，BC=3，且EF－AF=2，求DE的长．

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21. 有一家加工厂，要对一款进口巧克力进行包装，要求每袋净含量为100g．现使用甲、乙两种包装机同时包装100g的巧克力，从中各抽出10袋，测得实际质量（g）如下：
甲：101，102，99，100，98，103，100，98，100，99
乙：100，101，100，98，101，97，100，98，103，102

(1)、分别计算两组数据的众数、中位数；

(2)、通过计算发现这两种包装机抽出的这10袋的平均重量都是100g，要想每包巧克力质量更加稳定，如果你是老板，你会选择哪种包装机比较适合？简述理由．

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22. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x²﹣2mx+m+1＝0

(1)、求证：方程总有两个不相等的实数根．

(2)、m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？

(3)、若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．

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23. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a_{}^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样解答的：
∵ $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ， ∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$ ∴ ${(a - 2)}_{}^{2} = 3$
∴ $a_{}^{2} - 4 a + 4 = 3$ ∴ $a_{}^{2} - 4 a = - 1$ ∴ $2 a_{}^{2} - 8 a + 1 = 2 (a_{}^{2} - 4 a) + 1 = - 1$
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} =$ ；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{169} + \sqrt{168}}$

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $a_{}^{4} - 4 a_{}^{3} - 4 a + 3$ 的值．

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24. 如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为 $(14, 0)$ ，点B的坐标为 $(18, 4 \sqrt{3})$ ．

(1)、求点C的坐标和平行四边形 $O A B C$ 的对称中心的点的坐标；

(2)、动点P从点O出发，沿 $O A$ 方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿 $A B$ 方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒(t>0)，求当t为何值时， $△ P Q C$ 的面积是平行四边形 $O A B C$ 的一半？

(3)、当 $△ P Q C$ 的面积是平行四边形 $O A B C$ 面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M ，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

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