浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-21 类型：期中考试

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一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)

1. 下列各式是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{a^{2} + 1}$ B、 $\sqrt{- 7}$ C、 $\sqrt{a}$ D、 $\sqrt[3]{3}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 6$ D、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 4$

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3. 下表记录了四位射击运动员选拔比赛成绩的平均数和方差：

运动员	甲	乙	丙	丁
平均数（环）	9.1	9.2	9.1	9.2
方差（环 $^{2}$ ）	3.5	15.5	16.5	3.5

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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4. 用反证法证明“若a>b>0，则a²>b²”时，应假设（）

A、a²≥b² B、a²≤b² C、a²>b² D、a²<b²

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5. 若x=2是关于x的一元二次方程x²+mx-2=0的一个根，则m的值为（）

A、1 B、3 C、-1 D、-3

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6. 一次足球联赛实行单循环比赛(每两支球队之间都比赛一场)，计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是（）

A、x(x-1)=15 B、x(x+1)=15 C、 $\frac{1}{2}$ x(x-1)=15 D、 $\frac{1}{2}$ x(x+1)=15

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7. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的两条对角线AC ， BD交于直角坐标系的原点O ，点D的坐标是（2，1），则点B的坐标是（）

A、(-2，-1) B、(-2，1) C、(-1，2) D、(1，2)

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8. 如图，菱形ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ，过点B作BE⊥AD于点E ，连接OE ，若菱形ABCD的面积为16，OA＝4，则OE的长为（）

A、3 B、2.5 C、 $\sqrt{5}$ D、2

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9. 已知 $O$ 是矩形ABCD对角线的交点，作DE∥AC ， AE∥BD相交于点E ，连接BE ．若要使AD=BE ，则可添加的条件的个数为（）
① $A B = \frac{\sqrt{3}}{3} B C$ ②AB=AE③∠BAE=120°④∠BED=90°

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图，边长一定的正方形ABCD ， Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M ，过M作MN⊥AQ交BC于点N ，作NP⊥BD于点P ，连接NQ ，下列结论：①AM=MN；
②MP= $\frac{1}{2}$ BD；③BN＋DQ=NQ；④ $\frac{A B + B N}{B M}$ 为定值，其中正确的结论个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题(本题有6个小题，每小题3分，共18分)

11. 一个多边形的内角和为1800度，则这个多边形的边数为．

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12. 若最简二次根式 $\sqrt{1 - a}$ 与 $3 \sqrt{3}$ 可以合并，则 $\sqrt{a_{}^{2}}$ 的值．

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13. 如果样本方差是： $S^{2} = \frac{1}{10} [{(x_{1} - 3)}^{2} + {(x_{2} - 3)}^{2} + {(x_{3} - 3)}^{2} + \dots + {(x_{10} - 3)}^{2}]$ ，
那么 $x_{1}$ + $x_{2}$ + $x_{3}$ + $\dots$ + $x_{10}$ = ．

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14. 设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + m x - 2 = 0$ 的两个根，且 $x_{1} + x_{2} = 2 x_{1} x_{2}$ ，则 $m =$ .

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15. 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线CD于点E，∠ABC的平分线交直线CD于点F，AD＝5，EF＝2，则线段AB的长为.

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16. 如图，∆ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点， $B M = B N$ ， $∠ A B N = 15 °$ （点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为 $\sqrt{3} + 1$ 时，正方形的边长为．

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三、综合题（第17~19题各6分，第20~22题各8分，第23题10分，共52分）

17. 计算：

(1)、 $4 \sqrt{3}$ ﹣ $\sqrt{12}$ + $\sqrt{18}$

(2)、2x²﹣3x﹣1＝0．

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18. 定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，在5×5的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按要求画图．

(1)、在图①中画一个以AB为边画一个格点正方形ABCD；

(2)、在图②中画一个格点平行四边形AEBF ，使平行四边形面积为6；

(3)、在图③中画一个格点菱形AMBN ， AMBN不是正方形．
（提示：请画在答题卷相对应的图上）

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19. 为了开展阳光体育运动，提高学生身体素质，学校开设了“引体向上”课程．为了解学生做引体向上的情况，现从八年级各班随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图1和图2，请根据有关信息，解答下列问题：

(1)、本次接受随机抽样调查的男生人数为，图1中m的值是；

(2)、本次调查获取的样本数据（6，7，8，9，10）中，众数为，中位数为；

(3)、补全条形统计图；

(4)、根据样本数据，若八年级有280名男生，请你估计该校八年级男“引体向上”次数在8次及以上的人数．

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20. 如图，现有一段旧围墙AB ，现打算一边利用该围墙（墙的最大可用长度15米），另外三面用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．

(1)、怎样围成一个面积为126m的长方形场地？

(2)、长方形场地面积能达到130m吗？如能，请给出设计方案，如不能，请说明理由．

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21. 如图所示， $△ A B C$ ≌ $△ E A D$ ，点E在 $B C$ 上.

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；

(2)、若 $∠ B ： ∠ C A D = 5 ： 4$ ， $A E ⊥ E D$ ，求 $∠ E D C$ 的度数.

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22. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： $3 + 2 \sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$ ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
$3 + 2 \sqrt{2} = 1^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$ ．请你仿照小明的方法解决下列问题：

(1)、 $7 - 4 \sqrt{3} = {(a - b \sqrt{3})}^{2}$ ，则 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、已知x是4- $2 \sqrt{3}$ 的算数平方根，求 $x^{2}$ +2x-2024的值；

(3)、当1 $\leq$ x $\leq$ 2时，化简 $\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} =$

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23. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．
了解性质：如图1：已知四边形ABCD中，AC⊥BD ．垂足为O ，则有：AB²+CD²＝AD²+BC²；
（图1）（图2）（图3）
（图4）（图5）

(1)、性质应用：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，若AD=2，BC=4，CD=3，则AB=；

(2)、性质变式：如图2，图3，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP²+CP²＝BP²+DP² ．请以图3为例将重要结论证明出来．

(3)、应用变式：①如图4，在矩形ABCD中，O为对角线交点，P为BO中点，则 $\frac{{P A}^{2} + {P C}^{2}}{{P B}^{2}}$ ；(写出证明过程）
②如图5，在∆ABC中，CA=4，CB=6，D是∆ABC内一点，且CD=2，∠ADB=90°，则AB的最小值是．

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