浙江省杭州市浙里特色联盟2023-2024学年高二学期期中数学试卷

试卷更新日期：2024-05-21 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合 $A = {x | - 1 < x < 1}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 6 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ ( )

A、 ${- 2, - 1,0, 1}$ B、 ${0}$ C、 ${x | - 3 < x < 2}$ D、 ${x | - 1 < x < 1}$

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2. 等差数列{a_n}中，a₇+a₉=16，a₄=2，则a₁₂=（）

A、10 B、14 C、15 D、30

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3. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 2, - 1,1)$ ， $\vec{b} = (3,4, 5)$ ，则下列结论正确的是( )

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{a}$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $2 \vec{a} ⊥ (5 \vec{a} + 6 \vec{b})$ D、 $4 | \vec{a} | = \sqrt{3} | \vec{b} |$

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4. 若函数 $f (x) = l n x - 2 x + 1$ ，则 $f' (\frac{1}{2}) =$ ( )

A、 $0$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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5. 若点 $P (- 2 \sqrt{2}, y)$ 是角 $α$ 终边上一点，且 $c o s (α + \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $y$ 的值为( )

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- 2$ D、 $2$

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6. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 16 = 0$ 关于直线 $l$ 对称，则直线 $l$ 的方程为( )

A、 $2 x + y - 3 = 0$ B、 $x - 2 y - 8 = 0$ C、 $2 x - y - 5 = 0$ D、 $x + 2 y = 0$

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7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休 $.$ ”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征 $.$ 我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是
( )

A、 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ B、 $f (x) = \frac{1}{| | x | - 1 |}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

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8. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A ， B两点，M为线段 $A B$ 的中点，若 $| A B | = 16$ ，则点M到y轴的距离为（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知复数 $z = 1 - i$ ，则下列说法正确的是( )

A、 $z$ 的实部为 $1$ B、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 C、 $z$ 的虚部为 $- i$ D、 $z$ 的共轭复数为 $1 + i$

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10. 袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）

A、甲与乙互斥 B、乙与丙互斥 C、甲与乙独立 D、甲与乙对立

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11. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心 $F$ 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在 $P$ 点处变轨进入以 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在 $Q$ 点处变轨进入以 $F$ 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为 $R$ ，圆形轨道Ⅲ的半径为 $r$ ，则( )

A、轨道Ⅱ的长轴长为 $R + r$ B、轨道Ⅱ的焦距为 $R - r$ C、若 $R$ 不变， $r$ 越小，轨道Ⅱ的短轴长越大 D、若 $r$ 不变， $R$ 越大，轨道Ⅱ的离心率越小

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知向量 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (x, 4), \vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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13. 已知直线 $l$ ： $y = 2 x - 1 .$ 若点 $(n, a_{n})$ 在直线 $l$ 上，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ ．

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14. 古希腊数学家阿波罗尼斯 $($ 约公元前 $262 ～$ 公元前 $190$ 年 $)$ 的著作 $《$ 圆锥曲线论 $》$ 是古代数学的重要成果其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点 $O (0,0)$ ， $A (3,0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $\frac{| P O |}{| P A |} = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹与圆 $C$ ： $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 的公切线的条数为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 在 $△ A B C$ 中， $s i n A = \sqrt{2} s i n B$ ， $b = \sqrt{2} .$ 再从条件 $①$ 、条件 $②$ 、条件 $③$ 这三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，并解决下面的问题：
条件①： $c = 4$ ；
条件②： $b^{2} - a^{2} = c^{2} - \sqrt{2} a c$ ；
条件③： $a c o s B = b s i n A$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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16. 已知 $f (x) = a x^{3} - b x + 4$ ， $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极小值 $- \frac{4}{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $x = 3$ 处的切线方程；

(3)、若方程 $f (x) + k = 0$ 有且只有一个实数根，求 $k$ 的取值范围．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ，点 $(a_{n} ， a_{n + 1})$ 在直线 $y = 3 x$ 上.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及其前 $n$ 项的和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}} ， n \in N^{*}$ ，证明： $b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n} < \frac{3}{4}$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $△ D C P$ 是等边三角形， $∠ D C B = ∠ P C B = \frac{π}{4}$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $D P$ 和 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、求 $C M$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值．

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19. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，若以 $F_{1}$ 为圆心， $1$ 为半径的圆与以 $F_{2}$ 为圆心， $3$ 为半径的圆相交于 $A$ ， $B$ 两点，若椭圆 $E$ 经过 $A$ ， $B$ 两点，且直线 $A A_{1}$ ， $A A_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、点 $P$ 是直线 $l$ ： $x = 4$ 上一动点，过点 $P$ 作椭圆 $E$ 的两条切线，切点分别为 $M$ ， $N$ ．
①求证直线 $M N$ 恒过定点，并求出此定点；
②求 $△ P M N$ 面积的最小值．

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