云南省三新教研联合体2023-2024学年高二下学期第二次联考数学试卷

试卷更新日期：2024-05-21 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 $\vec{a} = (- 1,1), \vec{b} = (m, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ( )

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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2. 已知复数 $z$ 满足： $i z = 5 + i (i$ 为虚数单位 $)$ ，则复数 $| z | =$ ( )

A、 $\sqrt{26}$ B、 $5$ C、 $- 5$ D、 $6$

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3. 近日，云南人“打跳”的视频频频冲上各大平台热搜 $.$ 唱最朴素的歌，跳最热情的舞，云南人的快乐就是这么简单 $.$ 某平台为了解“打跳”视频的受欢迎程度，对 $20 - 60$ 岁的人群进行随机抽样调查，其中喜欢“打跳”视频的有 $100$ 人，把这 $100$ 人按照年龄分成 $4$ 组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，现从第二组和第四组的人中分层随机抽取 $10$ 人做进一步的问卷调查，则应从第 $2$ 组抽取的人数为( )

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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4. 已知集合 $A = {(x, y) | x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1}, B = {(x, y) | y = 3 x + 2}$ ，则 $A \cap B$ 中的元素个数有个．( )

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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5. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，公差 $d \neq 0$ ，若 $S_{21} = 7 (a_{8} + a_{10} + a_{k})$ ，则 $k =$ ( )

A、 $13$ B、 $14$ C、 $15$ D、 $16$

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6. 函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{3}} (x^{2} - a x - 1)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减的一个充分不必要条件是( )

A、 $a < - 1$ B、 $a \leq 0$ C、 $a < 1$ D、 $a \leq 2$

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7. 几何学史上有一个著名的米勒问题：“设 $E$ ， $F$ 是锐角 $∠ A P B$ 的一边 $P A$ 上的两点，试在边 $P B$ 上找一点 $Q$ ，使得 $∠ E Q F$ 最大 $.$ ”如图，其结论是：点 $Q$ 为过 $E$ ， $F$ 两点且和射线 $P B$ 相切的圆的切点 $.$ 根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，给定两点 $E (2,4)$ ， $F (4,2)$ ，点 $Q$ 在 $y$ 轴上移动，则 $∠ E Q F$ 的最大值为( )

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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8. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{| x - 1 |} - 1, x \geq 0 \\ - x^{2} + a x, x < 0 \end{array}$ ，若函数 $y = f (f (x))$ 恰有 $3$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围为( )

A、 $(0,2)$ B、 $(0,1)$ C、 $[- 1,0)$ D、 $(- 2,0)$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列命题正确的是( )

A、若函数 $y = x^{α}$ 过点 $(2, \sqrt{2})$ ，则 $α = \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{a} = (- 3,3), \vec{b} = (0,1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(0, - 3)$ C、若弧长为 $10 c m$ 的弧所对圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，则扇形面积为 $150 c m^{2}$ D、 ${s i n}^{2} 25 ° + {s i n}^{2} 65 ° + s i n 15 ° c o s 15 ° = \frac{5}{4}$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到 $y = g (x)$ 的图象，则( )

A、 $g (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、函数 $g (x)$ 的一条对称轴为直线 $x = \frac{π}{12}$ C、 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{12}]$ 上单调递减 D、当 $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{3 π}{4}]$ 时，若方程 $g (x) - a = 0$ 恰有三个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} \in [\frac{5}{6} π, \frac{11}{12} π]$

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11. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $E$ 满足 $\vec{A E} = x \vec{A C} + y \vec{C C_{1}}$ ，其中 $x \in [0,1]$ ， $y \in [0,1]$ ，则( )

A、当 $x = 1$ 时， $△ A_{1} B E$ 的周长为定值 B、当 $y = 1$ 时，三棱锥 $E - A C D_{1}$ 的体积为定值 C、当 $y = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $E$ 使得 $B E ⊥ A C$ D、当 $x = 1$ 时，三棱锥 $E - A D A_{1}$ 的外接球表面积的最小值为 $5 π$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 曲线 $y = - 2 x^{2} + 3$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为．

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13. 设 $m > 0$ ， $n > 0$ ，若直线 $l ： m x + \frac{n}{2} y = 2$ 过曲线 $y = a^{x - 1} + 1 (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的定点，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为．

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14. 定义离心率是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的椭圆为“黄金椭圆” $.$ 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{n} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (n > 4 > 0)$ 是“黄金椭圆”，则 $n =$ $.$ 若“黄金椭圆” $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0) (c > 0)$ ， $P$ 为椭圆 $E$ 上异于顶点的任意一点，点 $M$ 是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，连接 $P M$ 并延长交 $F_{1} F_{2}$ 于点 $Q$ ，则 $\frac{| P Q |}{| M Q |} =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $b c o s C + \sqrt{3} b s i n C = a + c$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ ， $c$ ．

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16. 如图，在四面体 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ 是 $A P$ 中点， $E$ 是线段 $B D$ 上一点 $($ 不包含端点 $)$ ，点 $F$ 在线段 $P C$ 上，且 $P C = 4 C F$ ．

(1)、若 $E$ 是 $B D$ 中点，求证： $E F / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是正三角形， $A B = P A = 4$ ，且 $B E = \frac{1}{2} E D$ ，求平面 $A E F$ 与平面 $P A C$ 夹角的余弦值．

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17. 某射击小组有甲、乙两名运动员，其中甲、乙二人射击成绩优秀的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ ，且两人射击成绩是否优秀相互独立．

(1)、若甲、乙两人各射击一次，求至多 $1$ 人射击成绩优秀的概率；

(2)、在一次训练中，甲、乙各连续射击 $10$ 次，甲击中环数的平均数为 $7.8$ ，方差为 $1.6$ ，乙击中环数的平均数为 $8.2$ ，方差为 $2.8$ ，求两人在这 $20$ 次射击中击中环数的方差．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $2 S_{n} = 3 a_{n} - 3$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = (- 1)^{n + 1} \frac{2 n + 1}{l o g_{3} a_{n} \cdot l o g_{3} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知动点 $P$ 到点 $F (1,0)$ 的距离比到直线 $x = - 3$ 的距离小 $2$ ，设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、已知点 $Q (2,0)$ ，过点 $Q$ 作直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，连接 $A F$ ， $B F$ 分别交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点．
$①$ 当直线 $A B$ 的斜率存在时，设直线 $A B$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $M N$ 的斜率为 $k_{2}$ ，试判断 $\frac{k_{1}^{2} + k_{2}^{2}}{k_{1} k_{2}}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
②求 $△ Q M N$ 面积的最小值．

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