贵州省遵义市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-05-21 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $A = {x ∣ l n x \leq 0}, B = {x ∣ - 1 \leq x \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 1}$ B、 ${0}$ C、 ${x ∣ 0 < x \leq 1}$ D、 $\emptyset$

查看试题解析
2. 在复平面内，复数 $\frac{5 i}{3 - i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} ω x - c o s^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、4

查看试题解析
4. 已知抛物线 $C : y^{2} = m x (m > 0)$ 上的点 $A (2, \sqrt{2 m})$ 到其准线的距离为4，则 $m =$ （）

A、6 B、 $\frac{1}{8}$ C、8 D、 $\frac{1}{4}$

查看试题解析
5. 若 $m - 1 \leq x \leq m + 1$ 是不等式 $x^{2} - x - 6 \geq 0$ 成立的充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $- 3 \leq m \leq 4$ B、 $- 4 ≤ m ≤ 3$ C、 $m \leq - 4$ 或 $m \geq 3$ D、 $m \leq - 3$ 或 $m \geq 4$

查看试题解析
6. 二项式 ${(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中仅有第5项系数最大，则 $(\sqrt{x} + 1) {(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中x的系数为（）

A、 $- 56$ B、 $- 28$ C、28 D、56

查看试题解析
7. 第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A ， B ， C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（）

A、60种 B、74种 C、88种 D、120种

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + l n \frac{x + 1}{1 - x}$ ，若 $f (2 m) + f (m - 1) > 0$ ，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{3})$ B、 $(0, 1)$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ D、 $(- 1, 0)$

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，

9. 下列选项中正确的有（）

A、 $A_{4}^{3} \div A_{5}^{2} = \frac{5}{6}$ B、 $A_{10}^{10} - A_{9}^{9} = 81 A_{8}^{8}$ C、 $C_{100}^{98} = 4950$ D、 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + C_{6}^{2} + C_{7}^{2} + C_{8}^{2} + C_{9}^{2} + C_{10}^{2} = 164$

查看试题解析
10. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ．已知 $a = 3, c = 3 \sqrt{2}, c o s C = \frac{3}{4}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $\frac{12 \sqrt{14}}{7}$ B、 $s i n A = \frac{\sqrt{14}}{8}$ C、 $b = 6$ D、 $△ A B C$ 为锐角三角形

查看试题解析
11. “新高考”后，普通高考考试科目实行“ $3 + 1 + 2$ ”模式，其中“2”就考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（）

A、B与C相互独立 B、 $P (A ∣ D) = \frac{3}{5}$ C、 $P (B ∣ D) = \frac{1}{5}$ D、 $P (B + D) = \frac{11}{12}$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 经过椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左焦点 $F_{1}$ 作直线交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点， $F_{2}$ 是右焦点，则 $Δ A F_{2} B$ 的周长为.

查看试题解析
13. 杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．某路段的传递活动由A ， B ， C ， D ， E ， F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A ， B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A ， C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为．

查看试题解析
14. 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X ，则随机变量X的期望与方差分别为，．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 9 0^{°}, A B = A C = 2, A A_{1} = 4$ ，点 $A_{1}$ 在底面ABC的射影为BC的中点， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ .

(2)、求二面角 $C - A_{1} B - B_{1}$ 的正弦值.

查看试题解析
16. 随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表．

回答正确
回答错误
问题中存在语法错误
100
300
问题中没有语法错误
500
100
结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题．

(1)、测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；

(2)、现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X ，求X的分布列与数学期望．

查看试题解析
17. 某地2019年至2023年五年新能源汽车保有量如下表．
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份编号 $x$
1
2
3
4
5
保有量 $y$ (万辆)
18
20
23
25
29
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．
在回归直线方程 $y = \hat{a} + \hat{b} x$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \cdot \bar{x}$ ．取 $\sqrt{185} = 13.6$ ．

(1)、请用相关系数说明 $y$ 与 $x$ 的线性相关程度；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测2025年该地新能源汽车保有量．

查看试题解析
18. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船把三名航天员送入太空．空间站开展的公益活动是与大众比较接近的．为了解学生对空间站开展的公益活动是否感兴趣，某学校从全校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查，得到如下 $2 \times 2$ 列联表中的部分数据．

对空间站开展的公益活动感兴趣
对空间站开展的公益活动不感兴趣
合计
男生
150
女生
50
合计
已知从这300名学生中随机抽取男生和女生各1人，抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率为 $\frac{3}{8}$ ．
附表及公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．
$α = P (χ^{2} \geq k)$
0.10
0.05
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、将上述 $2 \times 2$ 列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为学生对此项活动感兴趣与性别有关；

(2)、该学校对参与问卷调查的学生按性别采用分层随机抽样的方法，从对空间站开展的公益活动感兴趣的学生中抽取8人，组成一个宣传小组，从这8人中任选3人担任宣传小组的主讲人，设随机变量X表示这3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望．

查看试题解析
19. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ，虚轴长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P ， Q两点，O为坐标原点，证明： $△ O P Q$ 的面积为定值．

查看试题解析

	回答正确	回答错误
问题中存在语法错误	100	300
问题中没有语法错误	500	100

年份	2019	2020	2021	2022	2023
年份编号 $x$	1	2	3	4	5
保有量 $y$ (万辆)	18	20	23	25	29

	对空间站开展的公益活动感兴趣	对空间站开展的公益活动不感兴趣	合计
男生	150
女生		50
合计

$α = P (χ^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828