湖北省武汉市武昌区2024届高三下学期5月质量检测数学试卷

试卷更新日期：2024-05-21 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{i}{2}$ B、 $- \frac{i}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 已知二项式 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 展开式的二项式系数的和为64，则（）

A、 $n = 5$ B、 $n = 8$ C、 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 展开式的常数项为 $- 20$ D、 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中各项系数的和为1

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3. 已知 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 2), \vec{b} = (2, - 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $(1, 2)$ D、 $(2, - 1)$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 9, S_{9} = 81$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、288 B、144 C、96 D、25

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5. 已知函数 $f (x) = x | x |$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (2 x) > f (1 - x)$ 的解集为（）

A、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ B、 $(- \infty, \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, 1)$ D、 $(- 1, \frac{1}{3})$

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6. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为 $V = \frac{π}{3} (3 R - h) h^{2}$ ，其中 $R$ 是球的半径， $h$ 是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取 $π = 3$ ）（）

A、 $32000$ cm³ B、33664 cm³ C、33792 cm³ D、35456 cm³

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7. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 作直线交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 分别作准线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $M, N$ ，若 $△ A F M$ 和 $△ B F N$ 的面积分别为8和4，则 $△ M F N$ 的面积为（）

A、32 B、16 C、 $8 \sqrt{2}$ D、8

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8. 设 $a = 2 (e^{\frac{1}{2024}} - 1), b = e^{\frac{1}{1012}} - 1, c = s i n \frac{1}{2024} + t a n \frac{1}{2024}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B、线性回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 一定过样本点中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、线性相关系数 $r$ 越大，两个变量的线性相关性越强 D、在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好

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10. 下列说法正确的是（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为2 C、 $\forall a > b, m > 0, \frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ D、 $\sqrt{s i n^{2} x + 1} + \frac{1}{\sqrt{s i n^{2} x + 1}}$ 的最小值为2

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11. 已知无穷数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{m}$ 是以10为首项，以 $- 2$ 为公差的等差数列， $a_{m + 1}, a_{m + 2}, ⋯, a_{2 m}$ 是以 $\frac{1}{2}$ 为首项，以 $\frac{1}{2}$ 为公式的等比数列 $(m \geq 3, m \in N^{*})$ ，对一切正整数 $n$ ，都有 $a_{n + 2 m} = a_{n}$ .设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、当 $m = 3$ 时， $a_{12} = \frac{1}{8}$ B、当 $a_{23} = - 2$ 时， $m = 8$ C、当 $a_{2024} = 4$ 时， $m = 10$ D、不存在 $m$ ，使得 $S_{2024 m + 3} \geq 31396$ 成立

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为 $[- 1, 1)$ ，则函数 $f (1 - x)$ 的定义域为.

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13. 函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + φ) + 1 (| φ | < π)$ 的部分图象如图所示，则 $φ =$ .

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14. 已知动点 $P (x, y)$ 的轨迹方程为 $x^{2} - 4 y^{2} - \sqrt{x^{2} - 4 y^{2}} + m = 0$ ，其中 $m \in (- ∞, \frac{1}{4}]$ ，则 $\sqrt{\frac{5}{4} x^{2} - 8 y + 16}$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(2 a - c) c o s B - b c o s C = 0$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、已知 $b = \sqrt{3}$ ，求 $\frac{1}{2} a + 2 c$ 的最大值.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $A B = A D = C D = 2$ ， $B C = 4$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、若 $P A = P C = A C$ ，求平面 $B P C$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

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17. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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18. 已知点 $P$ 是圆 $E : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 16$ 上的动点， $F (- 1, 0)$ ， $M$ 是线段 $E P$ 上一点，且 $| P M | = | M F |$ ，设点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求轨迹 $C$ 的方程；

(2)、设不过原点的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且直线 $O A, O B$ 的斜率的乘积为 $- \frac{3}{4}$ .平面上一点 $D$ 满足 $\vec{O A} = \vec{A D}$ ，连接 $B D$ 交 $C$ 于点 $N$ （点 $N$ 在线段 $B D$ 上且不与端点重合）.试问 $△ N A B$ 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.

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19. 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将 $0 . \dot{3} \dot{1}$ 化为分数是这样计算的：设 $0 . \dot{3} \dot{1} = x$ ，则 $31 . \dot{3} \dot{1} = 100 x$ ，即 $31 + x = 100 x$ ，解得 $0 . \dot{3} \dot{1} = \frac{31}{99}$ .
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜 $m$ 局指的是一方比另一方多胜 $m$ 局.

(1)、如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；

(2)、如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜 $i (i = - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3)$ 局.设甲在净胜 $i$ 局时，继续比赛甲获胜的概率为 $P_{i}$ ，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为 $X_{i}$ ，期望为 $E (X_{i})$ .
①求甲获胜的概率 $P_{0}$ ；
②求 $E (X_{0})$ .

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