重庆市名校联盟2023-2024学年高一（下）期中数学试卷

试卷更新日期：2024-05-21 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. $(1 - i) (2 + i) =$ ( )

A、 $1 - i$ B、 $1 + 3 i$ C、 $3 - i$ D、 $3 + 3 i$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (- 1,3)$ ，若向量 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与向量 $\vec{b}$ 平行，则 $x$ 的值为( )

A、 $- 3$ B、 $0$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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3. 用斜二测画法作一个边长为 $6$ 的正方形，则其直观图的面积为( )

A、 $36$ B、 $18 \sqrt{2}$ C、 $9 \sqrt{2}$ D、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$

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4. 若 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 4 \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为( )

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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5. 在△ABC中，cosC= $\frac{2}{3}$ ，AC=4，BC=3，则cosB=（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质 $.$ 如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，上下底面的中心分别为 $O_{1}$ 和 $O$ ，若 $A B = 2 A_{1} B_{1} = 4$ ， $∠ A_{1} A B = 60 °$ ，则正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为( )

A、 $\frac{20 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{20 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{28 \sqrt{6}}{3}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ， $\vec{B P} = \frac{1}{3} \vec{B D}$ ，若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $\frac{λ}{μ}$ 的值为( )

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $- 2$

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8. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ，点 $D$ 为 $A C$ 的中点，点 $M$ 为边 $B C$ 上一动点，则 $\vec{M D} \cdot \vec{M C}$ 的最小值为( )

A、 $27$ B、 $0$ C、 $- \frac{7}{16}$ D、 $- \frac{9}{16}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列说法不正确的是( )

A、若直线 $a \subset$ 面 $α$ ，直线 $b ⊄$ 面 $α$ ，则直线 $a$ ，直线 $b$ 无公共点 B、若直线 $l / /$ 面 $α$ ，则直线 $l$ 与面 $α$ 内的直线平行或异面 C、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 D、有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

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10. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列叙述正确的是( )

A、 $a = 3$ ， $b = 4$ ， $A = 150 °$ ，有两解 B、若 $\frac{a}{c o s B} = \frac{b}{c o s A}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n A > c o s B$ D、若 $s i n A$ ： $s i n B$ ： $s i n C = 2$ ： $3$ ： $4$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形

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11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论 $.$ 奔驰定理与三角形四心 $($ 重心、内心、外心、垂心 $)$ 有着神秘的关联 $.$ 它的具体内容是：已知 $M$ 是 $△ A B C$ 内一点， $△ B M C$ ， $△ A M C$ ， $△ A M B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{M A} + S_{B} \cdot \vec{M B} + S_{c} \cdot \vec{M C} = \vec{0} .$ 以下命题正确的有( )

A、若 $S_{A}$ ： $S_{B}$ ： $S_{C} = 1$ ： $1$ ： $1$ ，则 $M$ 为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $M$ 为 $△ A B C$ 的内心，则 $B C \cdot \vec{M A} + A C \cdot \vec{M B} + A B \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ C、若 $∠ B A C = 45 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $M$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $S_{A} ： S_{B} ： S_{C} = \sqrt{3} ： 2 ： 1$ D、若 $M$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $3 \vec{M A} + 4 \vec{M B} + 5 \vec{M C} = \vec{0}$ ，则 $c o s ∠ A M B = - \frac{\sqrt{6}}{6}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 复数 $3 + 4 i$ 与 $- 5 - 2 i$ 分别表示向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ ，则向量 $\vec{A B}$ 表示的复数是．

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13. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a s i n A + b s i n C = b s i n B + c s i n C .$ 若 $b = 2$ ， $c = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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14. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ A B D = ∠ A B C = 60 °$ ， $B C = B D = 3 \sqrt{2}$ ， $A B = 6 \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，截去三棱锥 $A_{1} - A B D$ ．

(1)、求截去的三棱锥 $A_{1} - A B D$ 的体积；

(2)、求剩余的几何体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - D B C$ 的表面积．

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16. 已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- 2,0)$ ．

(1)、求 $\vec{a} - \vec{b}$ 的坐标以及 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 之间的夹角；

(2)、当 $t \in [- 1,1]$ 时，求 $| \vec{a} - t \vec{b} |$ 的取值范围．

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17. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域 $($ 阴影部分 $)$ 上 $A$ ， $B$ 两点之间建一条观光通道，如图所示 $.$ 在湖面所在的平面 $($ 不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面 $)$ 内距离点 $B 50$ 米的点 $C$ 处建一凉亭，距离点 $B 70$ 米的点 $D$ 处再建一凉亭，测得 $∠ A C B = ∠ A C D$ ， $c o s ∠ A C B = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

(1)、求 $s i n ∠ B D C$ 的值；

(2)、测得 $A C = A D$ ，观光通道每米的造价为 $2000$ 元，若景区准备预算资金 $8$ 万元建观光通道，问：预算资金够用吗？

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18. 定义在封闭的平面区域 $D$ 内任意两点的距离的最大值称为平面区域 $D$ 的“直径” $.$ 如图，已知锐角三角形的三个顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在半径为 $1$ 的圆上，角的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{a c o s B}{c o s A} + b = 2 c$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、分别以 $△ A B C$ 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和 $△ A B C$ 构成平面区域 $D$ ，求平面区域 $D$ 的“直径”的取值范围．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 为钝角， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ， $s i n ∠ C A B = \frac{1}{3} .$ 过点 $B$ 作 $A B$ 的垂线，交 $A C$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $B D$ 延长线上一点，连接 $A E$ ， $C E$ ，若 $E A = 3 C E$ ．

(1)、求边 $A C$ 的长；

(2)、证明： $∠ A E B = ∠ C E B$ ；

(3)、设 $∠ E A B = α$ ， $∠ E C B = β$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 $λ s i n α s i n β + {s i n}^{2} α + {c o s}^{2} β = 1$ 恒成立？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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