湖北省2024届高三普通高中5月联合质量测评数学试卷

试卷更新日期：2024-05-21 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（）

A、90 B、89 C、88 D、88.5

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2. 在复平面内，若 $\frac{z}{i} + 1 = \frac{2 - i}{1 + 2 i}$ ，则 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{4} + a_{6} = - 3$ ， $S_{8} = - 12$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、-1

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4. 已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（）

A、 $y = \frac{x}{e^{x} + e^{- x}}$ B、 $y = x c o s x$ C、 $y = x (e^{x} - e^{- x})$ D、 $y = c o s x (e^{x} + e^{- x})$

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5. 若正数 $a$ ， $b$ 满足： $a^{3} + b^{2} = a b$ ，则 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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6. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = x$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $C = \frac{π}{4}$ ，若存在两个这样的三角形 $A B C$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[2 \sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(0, 2 \sqrt{2})$ C、 $(2, 2 \sqrt{2})$ D、 $(\sqrt{2}, 2)$

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7. 在直角坐标系中，绕原点将 $x$ 轴的正半轴逆时针旋转角 $α (0 < α < \frac{π}{2})$ 交单位圆于 $A$ 点、顺时针旋转角 $β (\frac{π}{4} < β < \frac{π}{2})$ 交单位圆于 $B$ 点，若 $A$ 点的纵坐标为 $\frac{12}{13}$ ，且 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $B$ 点的纵坐标为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{17 \sqrt{2}}{26}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{26}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{13}$

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8. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x)$ 为 $f (x)$ 的反函数，若 $f (x)$ 、 $g (x)$ 的图像与直线 $y = - x$ 交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则下列说法正确的为（）

A、 $x_{2} > l n x_{1}$ B、 $x_{1} + x_{2} < 0$ C、 $x_{1} \in (0, \frac{1}{2})$ D、 $x_{1} - x_{2} \in (1, \frac{1}{2} + l n 2)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知集合 $A = {1, 2}$ ， $B = {0, 1, 2, 3, 4}$ ，集合 $C$ 满足 $A ⫋ C \subseteq B$ ，则（）

A、 $1 \in C$ ， $2 \in C$ B、集合 $C$ 可以为 ${1, 2}$ C、集合 $C$ 的个数为7 D、集合 $C$ 的个数为8

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10. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ ，又 $A (a, 0)$ ， $B (0, b)$ ，且直线 $B F_{1}$ ， $A B$ 的斜率之积为 $- 1$ ，则（）

A、 $a + c = 2 b$ B、 $b^{2} = a c$ C、 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、若 $E$ 上的点 $P$ 满足 $∠ F_{2} P F_{1} = \frac{π}{3}$ ，则 $S_{△ A B F_{1}} > S_{△ P F_{1} F_{2}}$

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11. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别为面 $A B C D$ ，面 $A A_{1} D_{1} D$ 的中心.已知与点 $M$ 关于平面 $A B C_{1} D_{1}$ 对称的点在棱柱的内部（不含表面），并记直线 $C N$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $θ$ ，直线 $A D$ 与 $C N$ 所成的角为 $γ$ ，对所有满足上述条件的正四棱柱，下列关系式一定成立的是（）

A、 $A A_{1} > A B$ B、 $A_{1} C < \sqrt{3} A B$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5} < c o s θ < \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $s i n γ > \frac{9}{10}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ ，设 $T$ 为 $f (x)$ 的最小正周期，若 $f (\frac{T}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $φ =$ .

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13. ${(x - \frac{\sqrt{2}}{x})}^{6}$ 展开式中 $x^{2}$ 项的系数为.

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14. 已知正方形 $P Q R S$ 的边长为 $2 \sqrt{2}$ ，两个点 $A$ ， $B$ （两点不重合）都在直线 $Q S$ 的同侧（但 $A$ ， $B$ 与 $P$ 在直线 $S Q$ 的异侧）， $A$ ， $B$ 关于直线 $P R$ 对称，若 $\vec{P A} \cdot \vec{R B} = 0$ ，则 $△ P A S$ 面积的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = \frac{a}{x} - 1$ 其中 $a$ 为常数.

(1)、过原点作 $f (x)$ 图象的切线 $l$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $\exists x \in (0, + \infty)$ ，使 $f (x) \leq g (x)$ 成立，求 $a$ 的最小值.

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16. 某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.

(1)、若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；

(2)、若每次摸出的球放回袋中，记 $X$ 为一个会员所获得的红包总金额，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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17. 如图， $A B$ ， $C D$ 是圆锥底面圆 $O$ 的两条互相垂直的直径，过 $C D$ 的平面与 $P B$ 交于点 $E$ ，若 $E$ 为 $P B$ 的中点， $O A = 2$ ，圆锥的体积为 $\frac{8 π}{3}$ .

(1)、求证： $C D ⊥ O E$ ；

(2)、若圆 $O$ 上的点 $F$ 满足 $A F = \frac{12}{5}$ ，求平面 $C E D$ 与平面 $D E F$ 夹角的余弦值.

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18. 已知 $F$ 为抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = m x (m > 0)$ 的焦点， $A$ ， $B$ ， $C$ 是 $Γ$ 上三个不同的点，直线 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 分别与 $x$ 轴交于 $F$ ， $D$ ， $E$ ，其中 $| A B |$ 的最小值为4.

(1)、求 $Γ$ 的标准方程；

(2)、 $△ A B C$ 的重心 $G$ 位于 $x$ 轴上，且 $D$ ， $G$ ， $E$ 的横坐标分别为 $d$ ， $g$ ， $e$ ， $\frac{3}{2} g - d - e$ 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

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19. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} \leq \frac{a_{n} + a_{n + 2}}{2},$ 则称数列 ${a_{n}}$ 为下凸数列.

(1)、证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；

(2)、设 $c_{n} = d_{n} + e_{n}$ ，其中 ${d_{n}}$ ， ${e_{n}}$ 分别是公比为 $q_{1}$ ， $q_{2}$ 的两个正项等比数列，且 $q_{1} \neq q_{2}$ ，证明： ${c_{n}}$ 是下凸数列且不是等比数列；

(3)、若正项下凸数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} \leq 1$ ，求证： $a_{1} + \frac{2 (1 - n)}{n} \leq a_{n} \leq a_{1}$ .

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